モナドの圏が17種類 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

モナドの圏を _σMnd_γ(K) の形で書く。σは圏のソート、γは圏の修飾子とする。

まず、修飾子は形容詞を組み合わせて作る。

形容詞記号	意味
L	左
R	右
Alg	1-射が代数的
EM	アイレンベルク／ムーア、1射が右斜め加群
Kl	クライスリ、1射が左斜め加群
S	単純、2-射が単純変換

単純変換とは限らない一般の変換＝2-射は、バイデント変換と呼ぶ。→ 弱2-圏内のモナドに関する補足：モナドが作る2-圏の多様性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記

モナド概念を固定しても、「モナドのあいだの準同型」「モナドのあいだの準同型のあいだの準同型」という概念は一意的には決まらないようです。適用分野や目的ごとに選ぶことになるのでしょう。

ソートは、

ソート記号	意味
0	0-圏
1	1-圏
s2	厳密2-圏
ind	インデックス付き圏
coind	余インデックス付き圏

17種の一覧は次のようになる。

ソート	修飾子
0
1	LAlg, RAlg, AlgKl, AlgEM, Kl, EM
s2	AlgKl, AlgEM, SKl, SEM, SAlgKl, SAlgSE, Kl, EM
ind	L
coind	R

構成の道具として、₁Adj_L, ₁Adj_R が出てくる。

_indMnd_L in ind-Cat[₁Adj_L]
_coindMnd_R in coind-Cat[₁Adj_R]

また、1-射が左可随伴〈left-adjointable〉、右可随伴〈rightt-adjointable〉も重要な概念になる。より強く、標準的一意的に随伴の相方〈partner〉が決まっているとき、左随伴付き〈with left adjoint〉、右随伴付き〈with right adjoint〉と言う。

モナドのあいだのクライスリ準同型（左斜め加群）が、代数的とは、準同型の台1-射が右随伴付きなことである。
モナドのあいだのアイレンベルク／ムーア準同型（右斜め加群）が、代数的とは、準同型の台1-射が右随伴付きなことである。

明らかに、₁Mnd_AlgKl ⊆ ₁Mnd_Kl, ₁Mnd_AlgEM ⊆ ₁Mnd_EM 。また、

₁Mnd_AlgKl $\stackrel{\sim}{=}$ _iso ₁Mnd_AlgEM

同型関手はメイト対応（メイト転置とメイト反転置）によって与えられる。

一方、_indMnd(K)[-]:₁AdjL(K)^op→Cat は、随伴系を左関手の向きとした圏の上のインデックス付き圏である。このインデックス付き圏のグロタンディーク平坦化が ₁Mnd_LAlg(K)。

₁Mnd_LAlg(K) := Flatten(_indMnd(K)[-])

次の圏同型がある。

₁Mnd_LAlg(K) $\stackrel{\sim}{=}$ _iso ₁Mnd_AlgKl(K)

_coindMnd(K)[-] に関しても同様な同型がある。

[追記]"クリメン／ソリヴェレス 2010"（https://www.uv.es/~solivere/Articles/Kleisli%20and%20Eilenberg-Moore%20constructions%20as%20parts%20of%20biadjoint%20situations.pdf）での Mnd_alg は、monads, algebraic morphisms, and algebraic transformations の2-圏。2-圏としても定義できるが、2-射は除いて、1-圏として定義する。

インデックス付き圏、余インデックス付き圏のレベルでは、普通は2-射を考えないので、代数的準同型〈algebraic homomorphism〉は1-圏で考えれば十分だと思う。[/追記]