カン拡張と米田拡張
まず、nLabのカン拡張項目：
Proposition 2.8. Let
- C be a small category;
- D have all small limits.
Then the right Kan extension of a functor F:C→D of locally small categories along a functor p:C→C' exists and its value on an object c'∈C' is given by the limit (極限公式)
あるいはMarina Christina Lehnerのテキスト
- “All Concepts are Kan Extensions”: Kan Extensions as the Most Universal of the Universal Constructions
http://www.math.harvard.edu/theses/senior/lehner/lehner.pdf
Theorem 3.1. Given K∶ C → D, let F∶ D → E be a functor such that ... (consider the left/right Kan extension of F along K) (極限公式)
Corollary 3.9. When C is small, right Kan extensions exist when E is complete, while left Kan extensions exist when E is cocomplete.
これで、基本関手 K:C→E に関して、Cが小さい圏で、Eが余完備ならば、Kに沿った左カン拡張の存在が保証される。
次に、小さい圏の前層の圏に関して：
によると、Dの前層の圏PSh[D]はDの自由余完備化となっている。もちろん、PSh[D]は余完備。したがって、米田埋め込み yC:C→PSh[C] に沿った、F:C→PSh[D] の左カン拡張は存在する。
実際、そのような拡張を米田拡張と呼ぶ。
The Yoneda extension of a functor F:C→D is extension along the Yoneda embedding Y:C→[Cop, Set] of its domain category to a functor F~:[Cop, Set] → D.
Yoneda extension F~ is the left Kan extension LanYF:[Cop, Set]→D F along the Yoneda embedding Y:
米田埋め込みと米田拡張があるので、これからマナ〈Manes〉・スタイル（＝拡張スタイル）のモナドを定義する。しかし、そのままではうまくいかない。
"Operads, clones, and distributive laws" by Pierre-Louis Curien（キュリア）の2012年論説、11p.からの"7 Profunctors as a Kleisli category"を参照。
これに対する対処は、
"Monads Need Not Be Endofunctors" Thorsten Altenkirch, James Chapman, Tarmo Uustalu が参考になる。
サイズの問題は、
フレイド／ストリート（PETER FREYD AND ROSS STREET）のサイズ定理で、ある程度は解決できる。複数の宇宙を使う方法は、
"An introduction to Yoneda structures" Paul-André Melliès に書いてある。
