入れ替え加群、いけてる！ - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

MとNがモノイドとして、X $\otimes$ M→N $\otimes$ X の形の作用（Mの右作用）を持つ入れ替え加群（モノイド・アダプター）を右入れ替え加群と呼ぶことにする。当然、左入れ替え加群も定義できる。入れ替え加群も右と左がある。

まず、通常の（片側）加群と入れ替え加群の関係。M-左加群の全体を LMod[M]、M-右加群の全体をRMod[M]、(N-反応, M-作用)-右入れ替え加群の全体を RSwap[N, M]、(N-作用, M-反応)-左入れ替え加群の全体を LSwap[N, M] とする。

外の圏のモノイド単位対象をIとして、左単位律同型射 λ_I:I $\otimes$ I→I をλと略記して I_λ := (I, λ, id_I) を自明なモノイドとする。I_ρも同じ。すべての対象はI_λ-左加群だし、すべての対象はI_ρ-右加群となる。

任意のモノイド圏が「とあるモノイド上の加群の圏」とみなせることは重要。アブラムスキー・スカラー域End(I)は、自明なモノイド対象のI-点（Iからの射）によって集合として表現したもの。ケリー／ラブラザの可換性補題は、自明モノイドの可換性だが、対称性がないときの可換性とは何ぞ？

それはともかく（閑話休題）、以上の準備のもとで、

これは、外の圏のモノイド単位に関するマックレーン一貫性から出る。これは次のことを意味する。

片側加群以外に入れ替え加群で説明できるものは：

参考：

双対を取って余モノイド、余加群、あるいは双モノイド、双加群、両代数とかで入れ替えを使えないか？