ラムダ抽象と積分とモノイド自然変換

モノイド圏上の加群圏の実例 - 檜山正幸のキマイラ飼育記

僕が加群圏にちょっと興味をいだいたのは、変則的なラムダ計算のモデルとして加群圏が使えないかな？ と思ったからです。思っただけで、よく分かってません。

よく分かったぞ。

少なくとも「積分を入れたラムダ計算」あるいは「ラムダ抽象を入れた積分」に関してははっきりした。

[追記]いやっ、ツメが甘かった。平均値積分が自然変換の条件を満たさない。が、割と簡単に修復出来た。あと、関数と測度の双対性を組み込めないだろうか？ →参考：測度的積分核と随伴構造 - 檜山正幸のキマイラ飼育記。[/追記][さらに追記]修正した概略をモノイド自然変換としての積分： 大雑把に - 檜山正幸のキマイラ飼育記に書いた。[/さらに追記]

• 前提知識：積分を入れたラムダ計算 状況編 - 檜山正幸のキマイラ飼育記

1. E:CompRgn^op→End(Ban)
2. J:CompRgn^op→End(Ban)

という2つの関手を考える。E(X) ではなくて、E^X と書く。Jでも同じ。

1. E^X(V) := (XからVへの積分可能な関数の空間でバナッハ空間) = V^X
2. J^X(V) := V つまり、J^X = (Id on Ban)

積分を κ::E⇒J:CompRgn^op→End(Ban) として定義する。

• κ^X:E^X→J^X in End(Ban)

ところが、End(Ban) の射は自然変換だから、

• κ^X::E^X⇒J^X:Ban→Ban

と書きなおして、さらに成分をとると：

• κ^X_V:E^X(V)→J^X(V) in Ban

定義に従って置き換えて、

• κ^X_V:V^X→V in Ban

κの具体的な定義は

• κ^X_V(f∈V^X) := ∫_Xf(x)dx ∈V

となる。

以上の状況で、

• Eは強モノイド関手となる。したがって、Banに「CompRgn上の加群圏」の構造が与えられる。
• Jは強モノイド関手となる。Banに自明な「CompRgn上の加群圏」の構造が与えられる。
• κはEからJへの半モノイド自然変換（単位律を除いたモノイド自然変換）となる。
• 平均値積分をκとすると、κはEからJへのモノイド自然変換となる。