モノイドと加群

Cを舞台となる圏とする。Cは対称モノイド圏、対称じゃないと左右の交換が出来ない。ブレイド圏でもいいが、左右の交換が面倒になる。さらに、Cは閉圏で、モノイド完備だとする。モノイド完備とは、圏として完備で、特定対象によるモノイド積関手（左掛け算、右掛け算）が連続なこと。Cは、ほぼベナボウ・コスモス。

モノイドはC内のモノイドを意味する。モノイドMに対して、左M-加群もC内で考える。LMod_C(M) は、左M-加群と加群射の圏。LMod_C(M) と忘却関手 U:LMod_C(M)→C の組み合わせをここでは淡中圏と呼ぶ。淡中圏の特殊例に過ぎないが。

C内の左加群の圏であり、Cへの忘却関手を持つ淡中圏の全体を、適当な関手を射として圏にして、それを TannCat(C) とする。次の関手がある。

• LMod_C(-):Mon(C)→TannCat(C)

また、淡中再構成をtannとすると：

• tann:TannCat(C)→Mon(C)

となる。これらが随伴関手対となることが、淡中随伴。

以上の枠組みでの注意やコツや感想や、雑多なこと。Uは忘却関手。

• Aが左M-加群 ⇒ Aが右-M^op加群
• Aが左M-加群 ⇒ Aが両側-M-M^op加群
• Aが左M-加群 ⇒ 構造射 ω_A:M→[UA, UA} がある。UAは忘却した加群台対象。
• ホム対象[UA, UB]は、両側-M-M^op加群
• モノイドMの情報は、忘却関手のなかにエンコードされて残っている。
• 忘却関手が記憶している！
• ただし、Mの情報は、Uの構造全体に拡散してエンコードされる。
• したがって、局所的に見てもMのことは分からない。
• 一階層上げて、自然変換のレベルで見ると、忘却関手の自己自然変換のモノイドがMの情報を備えている。
• 散逸したMの情報を抽出・集約するためにはエンド構成を使う。
• 淡中再構成は、ホム対象全部を寄せ集めた巨大な直積から、法則を担う非常に小さな部分だけを取り出すこと。
• エンドが抽出・集約に、なぜこんなに効果的なのか？ 不思議だ。
• ストーンやゲルファントの表現と類似の構造。空間の代わりに代数系を使っている。