フュージョン圏上の加群圏と、分離的多元環上の加群の圏と、水増し左作用

モジュラー圏とか - 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編で引用した http://arxiv.org/pdf/1201.6593v2.pdf の"3.4 Module categories and categories of modules"によると、

Thus (indecomposable, semisimple) module categories over a fusion category C and categories of modules for a separable algebra in C are essentially the same thing.

フュージョン圏に関して言えば、圏C内の分離的多元環（分離的モノイド対象）上の加群の圏と、C上の加群圏は同じ、だという。なんか、にわかには信じがたいが、そういうことらしい。

で、加群の圏からC上の加群圏を作る方法だが、これがバカバカしいというか自明というか、やたらに単純な方法。

AをC内の多元環（モノイドと同義）だとして、M = (M, μ) をA上の右加群とする。Cの勝手な対象Xと右加群Mに対して、新しい右加群 X $\odot$ M を次のように定義する。

加群の台対象は、X $\otimes$ M とする。a
加群の右作用 (X $\otimes$ M) $\otimes$ A → X $\otimes$ M は、id_X $\otimes$ μ
要するに、X $\otimes$ (-) という関手を、右加群に対して自明に拡張。

右加群の係数多元環は、左に足したX側にはまったく作用しないので、これは与えられた右加群MをXの分だけ水増ししているに過ぎない。右加群を、左側からそっと水増ししている。本質的には変わらない。

フュージョン圏上の加群圏は、水増しする操作しか許されないような堅い構造を持つことになる。加群圏が与えられると、それは加群の圏だと思えて、加群の圏の係数多元環を取り出せる、とするなら、これは一種の淡中再構成のような気もする。