module, bimodule, algebra
プロ関手（profunctor, distributor）をbimoduleだかmoduleだかと呼ぶ習慣が一部にあるが、これはいくらなんでもヒドイ。論外としておこう。
古典的には、環Rと環Sがあって、アーベル群Aが、左R加群かつ右S加群のとき、R-S両側加群と呼ぶはずだが、両側加群を双加群とも呼ぶのかな？ http://en.wikipedia.org/wiki/Bimodule を読んでみると：both a left and a right module, such that the left and right multiplications are compatible. -- やっぱり両側加群のことだね。というわけで、bimoduleの標準的な用法は両側加群ということでいいとしよう。
加群または双加群（やっぱり両側加群がシックリ来るな、僕には）の係数環を多元環まで一般化すると、多元環上の双加群概念ができる。ここで多元環と書いたが、普通はalgebraと呼ぶ。この多元環というのは、圏Abにおけるモノイド対象である。このことから、圏のモノイド対象＝内部モノイドを（その圏の）代数と呼ぶことがある。
Cのモノイドを代数と呼ぶことがあるのだから、CのモノイドAとCの対象X、それと左（または右）スカラー乗法 A□X→X をCの加群と言ってよいだろう。このとき、CのモノイドAは代数といったほうが自然。つまり、モノイド圏Cの「代数A上の加群X」という言い方になる。同様に、「代数A, B上の双加群X」とう言い方もできる。
Cが多様体の圏なんかだと、加群という言い方はさすがに変なので、「モノイドAが作用する空間X」と言ったりする。モノイドより群が多いが。スカラー乗法の代わりに作用という。双加群に相当する概念は、2つのモノイド（や群）が左右から作用する空間。
さて、こっからがちょっと困った話。モナドFがあると、F-代数という概念がある。単なる関手Fに対するF-代数も定義できるが、モナドFの代数はモナド演算と協調する公理を備えている。モナドFの代数の全体はAlg(F)と書かれて、Fのアイレンベルク／ムーア圏となる。
問題は、圏CがAbであって、モナドFが圏Cのモノイド（つまり、代数）Aによるスタンピングモナドのときだ。モナドの代数は、F(X)→X という形、つまり、A×X→X で公理を満たす。これは、代数Aの加群のこと。
混乱しそうだから、アイレンベルク／ムーア構成の代数を、EM代数と呼ぶことにすると。圏Cのモナド＝代数AによるスタンピングモナドのEM代数が、「代数Aの加群」なのだ。さらに、モナドがEnd(C)のモノイドだから、End(C)内で、モナド＝モノイド＝代数の加群を考えることが出来る。
- 代数はモノイドである（同義語として使う）
- 代数＝モノイドのスタンピングモナドのEM代数を考えられる
- スタンピングモナドのEM代数は、代数（多元環）の加群である
- スタンピングモナド自体がモノイドである
- モナド（代数）の加群を考えることもある
もうまったく無茶苦茶なんだが、歴史的経緯からはしょうがない点もある。最後に、事実だけ述べると：
