H-comodule algebra

Hが余代数（coalgebra）という仮定で、H-comodule algebra という概念が出てきた。なんのことか分からなかったが、順番に考えるとなんとか推測可能。

ベースとなる圏Cはモノイド圏。集合と直積とか、ベクトル空間とテンソル積とか。ここでは、記号×とIを使う。Hが（Cにおいて）余代数ということは、δ:H→H×H という余乗法を持つこと（あと余単位も）。これはコモノイドに他ならないが、Cがベクトル空間＋テンソル積の圏なら余代数と呼ぶのがふさわしい。

余代数H上の余加群Sとは、余作用（coaction）とか余スカラー乗法と呼ばれるΔ:S→H×S を持っていること。代数（モノイド）上の加群概念の双対概念。余代数Hを固定すれば、Comod(H) という圏ができる。射は、余作用を保存する射（例えば線形写像）。

圏Comod(H)のなかで、代数（モノイド）を考えることができる。つまり、Sが余加群だとして、余加群の射 m:S×S→S、e:I→S があって結合律と単位律を満たすこと。

H上の余加群代数の典型例は、Hが双代数のときのH自身。Δ:H→H×H をもとの余乗法として定義すると、Hは余加群。もともと存在していたHの乗法m:H×H→H により代数となる。つまり、双代数は、余代数上の余加群の圏の代数を定める。