圏が作用する片側加群も考えることができる

ホムセット（ホモセット）ならぬヘテロセット H(X, A) |C|×|D|→Set を考えると、CのHへの左作用、DのHへの右作用を考えた双加群は、プロ関手 H:C^op×D→Set, H:C-/→D になる。特に、C = D のとき、自己プロ関手は、左C-右C-双加群となる。

以上はよく知られた事実だ。

圏の場合、双加群ありきなので、片側加群が考えにくいが、かならずしも左右が一致ししている必要はないので、片側を自明圏とすれば片側加群を考えることができる。つまり、H:C-/→1 または H:1-/→C を考えると、Hは片側加群と考えてよい。

• H:C-/→1 ⇔ H:C^op×1→Set
• H:1-/→C ⇔ H:1^op×C→Set

となるので、C左加群HはC上の前層となり、C右加群HはC上の余前層となる。オートマトンとの類似を考えると：

加群	オートマトン	圏論
モノイド	連接自由モノイド	圏
-	-	対象
アトミック元	字	アトミック射
単位元	空語	恒等射
モノイド元	語	射
加群台	状態空間	ヘテロセット
左加群	左オートマトン	前層
右加群	右オートマトン	余前層
双加群	双オートマトン	プロ関手
反応加群	トランスデューサー	？？
？？	模倣	？？
？？	双模倣	？？

模倣は二重圏で考えればわかると思う。2セルのはずだ。