デカルト無限タワーの記述 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

僕が見た範囲では、デカルト構造のキチンとした循環定義は公開されてないようです。内容的には“当たり前のことの再確認”なので、誰もやりたがらない作業なのかな？できれば、デカルト構造の全貌（＝無限タワーの総体）を晒したいと思っています。

これをやるには、やっぱり相当に記法を工夫しないといかん。絵算使わないと無理があるのに、最終的にはテキストによる等式的仕様にしないといかん、というジレンマもある。以下、思いつきと記録（メモ）をバラバラと。

各種結合、格上げ

結合記号に関しては、

添字記法	平坦記法	通常記法	名称
#¹₀ in 1-cat	#[1/0@1]	;	結合
#¹₀ in 2-cat	#[1/0@2]	*	結合
#²₁ in 2-cat	#[2/1@2]	;	縦結合
#²₀ in 2-cat	#[2/0@2]	*	横結合
#^2,1₀ in 2-cat	#[2,1/0@2]	*	ヒゲ結合
#^1,2₀ in 2-cat	#[1,2/0@2]	*	ヒゲ結合

[追記]

Catのなかで直積も考えると：

射の次元	直積（境界-1）	結合（境界0）	結合（境界1）
0	×=#⁰_-1
1	×=#¹_-1	; = #¹₀
2	×=#²_-1	* = #²₀	; = #²₁

ヒゲ結合は

A×f = A #^0,1_-1 f = A^×f
A;f = A #^0,1₀ f = A^;f
f×α = f #^1,2_-1 α = f^×α
f*α = f #^1,2₀ α = f^*α
f;α = f #^1,2₁ α = f^;α

[/追記]

格上げ（あるいは抽出）は基本操作だから、(-)~ または (-)^~ で書く。a:1→C in CAT に対しては、aからCの対象が決まるのだけど、これは格上げの逆操作になる。どう書けばいいかな。a_~ かな、たぶん視認性が悪い。a! にすっか。終射 !_A とか f_! もあるが、多少のダブリはしょうがない。

A^~! = A in C
a!^~ = a in CAT

これをチルダ・バン〈tilde-bang〉記法とすると、モノイドやモノイド圏の指標補足解説 - 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編のダッシュ記法（手書きではオーバーライン記法）との整合性が問題になる。

i:1→C in CAT

i!がCの単位対象になるから、

(i!)' = 1

i! を 1 と書いているなら、

i:1'→C in CAT
i! = 1
(i!)' = 1'
1' = dom(1^~)

さらに、

Y = (×) :C×'C→C in CAT
i:1'→C in CAT

とかも、2-CAT のなかに格上げ（抽出、引っ張り上げ）できるはず。

格上げの一般論では、おそらく

n-圏Cのk-射は、Cの外の圏（環境＝アンビエント）のk-変換手〈k-transfor〉に格上げできる。特に、Cの対象＝0-射は、環境の関手＝0-変換手となる。

例えば、

Catの対象である圏は、環境2-CATの関手、つまり2-関手に格上げされる。
Catの射である関手は、環境2-CATの1-変換手、つまり2-自然変換＝疑自然変換に格上げされる。
Catの2-射である自然変換は、環境2-CATの2-変換手、つまり変更に格上げされる。

格上げは、n-圏の内在構造〈閉じ込められた構成素達〉を、環境(n+1)-圏に外在化させる。この構成は、環境内にポインティング錐体を作ることになる。

あー、やっぱり変換手の一般論が必要だなー。変換手がないと、格上げも出来ない。

ところで、!演算子は格下げだが、格下げは何というか？ demote だろうが、bump up と対にはなりにくいな、ナントカdownがないかな。up-grade, down-grade のペアか。promote, demoteが無難か。

マックレーン五角形／三角形法則

マックレーンの五角形をインデックスなしの等式で表す

上記記事より、

penta ::: YII*α ; IIY*α = αI*Y ; IYI*α ; Iα*Y
tri ::: IiI*α = ρI*Y ; Iλ*Y

これを精密化する。

五角形等式の左辺 YII*α ; IIY*α は次のように書ける。自然変換の下付き添字は山形括弧で書いてる。

   [((Y×'I)×'I)#α] #
   [α'<U×'U,U,U>#(I×'Y)] #
   [(I×'I)×'(I×'I)#τ'<Y,Y>] #
   [(I×'I)×'Y#α]

:: ((Y×'I)×'I)#(Y×'I)#Y ⇒ (I×(I×Y))#(I×Y)#Y

#は色々なバリエーションがあるんで、オペランドの型から“型推論”しないとどの結合かが分からない。Yは当該圏の直積 Y = (×) で、×'は環境の直積。τ' は、環境が持つ交替律子の成分。交替律はストリクトに成立するので、律子は等式（恒等）になるが、明示的に書いておいたほうがいい。当該圏の内部にも交替律子（恒等）τはある。

五角形等式の右辺のほうのテキスト記述で詰まった。次の図の疑問符部分の射（変形）をテキストでどう書くか分からなくなった。下側は、参考のために単なる結合律子。

結合律子（等式も含める）とは、複数アイテムのリグルーピング（regrouping）操作。そのリグルーピング操作に名前を付けて明示的な対象物としてメタ操作したい。リグルーピング操作の全体は、亜群になるから、亜群の射を扱う。この亜群がいくらでも次元が上がるからまた無限タワー。

亜群の対象は、グループ化されたアイテム達のツリー、または入れ子図
亜群の射は、達のツリー、または入れ子図のリグルーピング操作

式（ツリーや入れ子図）は値ではないが、それ自身が操作対象という意味では“値”と言える。値と式のメタ・タワー構造。式から値を得る評価があると、そこにはモナドが発生する。

ともかく、もっと良い記法／図法／計算法が必要。

各種結合、格上げ

マックレーン五角形／三角形 法則

マックレーン五角形／三角形法則