スターモノイド圏＝対合モノイド圏の一貫性 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

圏の構造を与えるオペレータ（関手）と律子（自然変換）がある。モノイド構造なら、

オペレータ：
- $\otimes$ :C×C→C
- I:☆→C
律子：
- α::( $\otimes$ ×C); $\otimes$ ⇒(C× $\otimes$ ); $\otimes$
- λ::λ;(I×C); $\otimes$ ⇒C
- ρ::ρ;(C×I); $\otimes$ ⇒C

恒等自然変換、律子、外の圏の律子を組み合わせて2-射を定義すると、2-射の圏がやせた圏となることが一貫性定理。

「一貫性」に関しても、用語法が整理されてなくて誤解しがつ。一貫性定理も、一貫性を対象レベルで考えるかメタレベルで考えるかで解釈が異なる。通常は、一貫性メタ定理を一貫性定理と呼び、対象レベルの一貫性定理は呼び名がない。ここでは、一貫性射〈coherence morphism〉と呼ぶ、一貫性射がn-射であることを強調するなら、一貫性n-射〈coherence n-morphism〉と呼ぶ。一貫性射の圏を一貫性圏〈coherence category〉と呼ぶ。

上記の用語法で、一貫性メタ定理は：

一貫性圏はやせた圏である。

一貫性圏を生成する射（n-射）の集まりを、一貫性公理系〈axiom system for coherence〉、一貫性生成系〈generating system of coherence〉と呼ぶ。

一貫性圏を生成する生成n-射は等式。等式はn-圏の(n+1)-射なので、相手にしている圏より次元が1上がる。生成n-射を通常は、一貫性等式〈coherence equality/identity〉とか一貫性関係〈coherence relation〉、一貫性法則〈coherence law〉とか呼ぶ。典型的なのは、マックレーンの一貫性等式（五角形、三角形）。

一貫性圏は、一貫性生成射から組み合わせ的に生成される。一般には複雑怪奇な圏になる。が、その(n + 1)部分がやせている、と主張するのが一貫性メタ定理。

最近考えているのは、対合オペレータを持つ2つの圏のあいだの対合を保存する関手の計算。次のような構成素がある。

C側のモノイド構造
- 関手（オペレータ）：
  - $\otimes$ モノイド積
  - I モノイド単位
- 自然変換（律子）：
  - α 結合律子
  - λ 左単位律子
  - ρ 右単位律子
C側の対合構造
- 関手（オペレータ）：
  - S 対合
- 自然変換（律子）：
  - ν 対合の積適合子
  - δ 対合の単位適合子
  - ξ 対合律子
D側のモノイド構造
- 関手（オペレータ）：
  - $\otimes$ '
  - I'
- 自然変換（律子）：
  - α'
  - λ'
  - ρ'
C側の対合構造
- 関手（オペレータ）：
  - S'
- 自然変換（律子）：
  - ν'
  - δ'
  - ξ'
F:C→D の構造
- 自然変換：
  - μ Fの積適合子
  - ε Fの単位適合子
  - τ FとSの交換適合子〈swap respector | swapper〉

律子〈law-rator〉も適合子〈respector〉も自然変換＝2-射で、律子と適合子の組み合わせのあいだの3-射となる。同じ3-プロファイルを持つ3-射がたかだかひとつであることが、一貫性メタ定理の主張。