自然変換のカリー化と評価自然変換

F, G, Hなどは、前層の圏[C^op, Set]の対象、つまりC上の前層。ギリシャ小文字は前層の準同型、つまり自然変換を表す。ホムセットの書き方は、

• [C^op, Set](F, G) = Nat(F, G:C^op→Set) = Nat(F, G)

最後の書き方は略記。また、Cの前層は、

• C^{^} = PSh(C) = [C^op, Set]

したがって、

• C^{^}(F, G) = Nat(F, G)
• |C^{^}| = Functor(C^op, Set)

F, G∈|C^{^}| に対して、G^Fは、

• G^F(A) := Nat(A^米×F, G)

f:A→B に対して、f^米:A^米→B^米 なので、f^米×ι_F による前結合引き戻しで、G^F(f:A→B) は定義できる。したがって、G^Fは（反変）関手。

評価射（評価自然変換） ε = ev_F,G:G^F×F→G は自然変換なので、成分表示で、

• ε_A(α, x) := α_A(id_A, x)

次に、ξ:F×G→H in C^{^} に対して、カリー化 ξ^∩:F→H^G は次のように定義する。

• (ξ^∩(x))_X := (F(-)(x)×id_G(X));ξ_X

このなかで、F(-)(x) が自然変換で、

• F(-)(x)::C(-, A)⇒F
• (F(-)(x))_X:C(X, A)⇒F(X)
• (F(-)(x))_X(u) = F(u)(x)

このF(-)(x)がミソかも知れない。