このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

点列の収束／極限

メモ 教育 幾何っぽい

点列の収束／極限などの概念を特別扱いせずに、位相空間と連続写像の一般論に吸収したほうがいいと思う。離散空間Nとコンパクト空間N∞のペアを考えて、連続写像が拡張可能かどうかを考える話になる。

部分空間で定義された連続写像を、親の空間全体に拡張する問題は、一般的でよく出てくる問題。この一般的枠組み内で収束／極限も考える。せっかく、一般論をやるんだったら、過去を見直さないともったいないし。

N∞とその位相

N∞ := N∪{∞} と置く。集合N∞の部分集合族、つまりPow(N∞)の部分集合Cを次のように定義する。

  1. ∞を含まない有限集合（空集合も）は、Cの要素である。
  2. ∞を含む任意の集合は、Cの要素である。

このとき、次を示せ。

  1. A, B∈C ならば、A∪B∈C
  2. X⊆C ならば、\bigcap (X) \in C

ここで、\bigcap (X)は、集合族X全体の共通部分。

Cに属する集合の補集合全体からなる集合族をOとする（O⊆Pow(N∞)）。次を示せ。

  • Oは、N∞の位相になる。

N∞の位相としては、特に断りがない限り今定義した位相を使う。今定義したOは、これ以降ON∞と書く。

次を考えよ。f*(-)は逆像。

  • (X, OX)を位相空間として、f:N∞→X は連続。U∈OXとする。このとき：
    1. f(∞)∈U のとき、f*(U)⊆N∞ はどんな集合か？
    2. f(∞)!∈U のとき、f*(U)⊆N∞ はどんな集合か？

次を示せ。

  1. N⊆N∞ であるが、部分集合Nに相対位相（部分集合位相、部分位相、誘導位相）を入れたとき、Nの位相は離散位相になる。
  2. N∞はコンパクト空間である。（N∞は、離散空間Nのコンパクト化になっている。）

N∞とその位相に特に名前は付いてない。

連続写像の制限と拡張

(X, OX)を位相空間、A⊆X とする。Aを位相空間と考えるときは、常にXからの相対位相を入れる。以下、写像は断り書きがなければ連続とする。

f:X→Y に対して、f|Aを、fをAに制限した写像 f|A:A→Y とする。

  • f|Aが連続であることを示せ。

g:A→Y が、f:X→Y により g = f|A と書けるとき、fはgの拡張と呼ぶ。次は同じ意味である。

  • fはgの拡張
  • gはfの制限
  • gは拡張可能（拡張のひとつがf）

X, A, Y, g を適当に決めて次のような例を作れ。

  1. g:A→Y は拡張を持たない。
  2. g:A→Y は複数の拡張を持つ。
  3. どんな g:A→Y も、拡張を持つなら1つだけである。
  4. どんな g:A→Y も、常に1つの拡張を持つ。

次を示せ。

  1. AがXの稠密部分集合のとき、g:A→Y が拡張を持つなら1つだけである。
  2. g:A→Y がXまで拡張可能なとき、h:Y→Z に対する h\circg:A→Z は拡張可能である。

一点での連続性と開近傍系

XとYが位相空間で、x∈X、f:X→Y は連続かどうか分からない写像とする。OX(x) = {U∈OX | x∈U} とする。OY(y)も同様。

  • fが点xで連続 :⇔ ∀V∈OY(f(x)).∃U∈OX(x).f(U)⊆V

なお、「fが連続 ⇔ fがすべての点で連続」については、各点で連続ならば連続 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 を参照（使っている記法が違うけど）。

OX(x)の要素を、xの開近傍と呼ぶ。OX(x)はxの開近傍系だが、OX(x)全体を使う必要はないので、次の性質を持つ部分族を開近傍系と呼ぶ。

  1. N⊆OX(x)
  2. ∀A⊆N.∃U∈OX(x).U⊆A これは自明に成立する
  3. ∀U∈OX(x).∃A⊆N.A⊆U

二番目の条件は不要だが、入れておくと対称性がある*1のがわかる。

Nがxの開近傍系だとして、

  • fがN-連続 :⇔ ∀V∈OY(f(x)).∃A∈N.f(A)⊆V

次を示せ。

  • fが点xで連続 ⇔ fがN-連続

コンパクト位相空間N∞に関して、S⊆ON∞(∞)を次のように定義する。

  • A∈S :⇔ ∃n∈N.(A = ({k∈N | k ≧ n}∪{∞}))

この定義のもとで、

  • Sは（N∞において）∞の開近傍系となることを示せ。

以上により、

  • f:N∞→X が点∞で連続 ⇔ fがS連続

特に、Xがdを距離とする距離空間のときに、

  • f:N∞→X がS連続であることを、ε-δ風に記述せよ。

通常、Sを、N∞における∞の標準的開近傍系として使う。

N⊆N∞ における拡張可能性

Nは、位相空間として離散空間であり、コンパクト空間N∞の部分空間だと考える。NはN∞で稠密なので、

  • g:N→X がN∞まで拡張可能なら、その拡張はひとつだけである。

gが拡張可能なとき、その拡張を ext(g):N∞→X と書く。次は既に示している。

  • g:N→X が拡張可能なら、f:X→Y に対する f\circg も拡張可能で、ext(f\circg) = f\circ(ext(g))

以下は、言葉使い／表現法の違いである。

  1. (an|n∈N)はXの点列である ⇔ a:N→X は（離散位相で）連続写像である。
  2. (an|n∈N)は収束する ⇔ a:N→X はN∞まで拡張可能である。つまり、ext(a)が（一意的に）存在する。
  3. limn→∞an = b ⇔ ext(a)(∞) = b
  4. f(limn→∞an) = limn→∞f(an) ⇔ f(ext(a)(∞)) = ext(f\circa)(∞) または同じことだが (f\circext(a))(∞) = ext(f\circa)(∞)

解析（微積分）では、距離空間と点列だけで議論することが多いが、一般論を使わないとかえって見通しが悪くなったり、煩雑になったりするので、必要に応じて位相空間と連続写像の一般論を使ったほうがよい。

*1:順序集合の部分集合のあいだの共終性／共始性。