ローヴェア・セオリーの操作

L, L', Mなどはローヴェア・セオリーとする。

• ローヴェア・セオリーの直和 L + M
• ローヴェア・セオリーのテンソル積 LM

テンソル積はどの程度存在するかよくわからんが、次が成立する。

• Mod(L, Mod(M, C) Mod(LM, C)

この同型は（それが存在するなら）超便利だ。

直和に関しては、

• Mod(L + M, C) Mod(L, C)×Mod(M, C)

もちろん、指数法則類似

1. (c^m)^ℓ = c^ℓ・m
2. c^ℓ+m = c^ℓ×c^m
3. c¹ = c
4. c⁰ = 1

ローヴェア・セオリーの圏は直和（反対圏では直積）を持ち、余等値核〈コイコライザー | 貼り合わせ | 融合和〉を持つので、任意の有限余極限が取れる。したがって、直和に限らず、さまざまな余極限的加工ができる。

[追記]足し算の指数法則の拡張は、

• Mod(Colim_X FX, C) Lim_X Mod(FX, C)

という、余極限が極限に変わるという意味での反変連続性だろう。
[/追記]

次にローヴェア・セオリーのファミリーを定義する。

• L = (A in D |→ L[A])

ファミリーは次のように分類する。

1. |D|→|Law| のときは、離散ファミリー
2. 関手になっているときは、関手(的)?ファミリー ＝ 余インデックス付き圏
3. 反変関手になっているときは、余関手(的)?ファミリー ＝ インデックス付き圏
4. 随伴対の右パートナーである関手になっているときは、右随伴ファミリー
5. 随伴対の左パートナーである関手になっているときは、左随伴ファミリー

どのようなファミリーであっても、値の圏であるLawの演算を点ごとに適用できるから、点ごとの直和や点ごとのテンソル積などができる。

さらに積分に相当するグロタンディーク平坦化がある。グロタンディーク平坦化を総和とみなすと、Σ(A in D | L[A])。これは、標準的なファイブレーション π:Σ(A in D | L[A]) → D を持つ。平坦化は、インデクシング圏D上に拡がる圏となる。

ローヴェア・セオリーのファミリー（インデックス付き圏または余インデックス付き圏）、モナドのファミリーと、インデクシング圏上での集約〈総和 | 積分〉演算を入れると、セオリー（またはモナド）の初等解析〈calculus | 計算〉ができる。