ナントカ位相

ローヴェア／ティアニー位相は

• https://ncatlab.org/nlab/show/Lawvere-Tierney+topology

The use of “topology” for this and the related Grothendieck concept is regarded by some people as unfortunate;

• https://ncatlab.org/nlab/show/historical+note+on+Grothendieck+topology

some people consider it to be somewhat unfortunate.

しかし、なかなか変更できないと思う。

シンプソンの独立概念が被覆に近いと思う。復習： マルチスパンを{f_j|j∈J}のように書く。マルチスパンの族Iに対して、形容詞「安定」「アフィン」「関連」を定義する。

• Iは安定 :⇔ {f_j|j∈J}∈I, h:I→J が双射 ⇒ {f_h(i)|i∈I}
• Iはアフィン :⇔ {f_j|j∈J}∈I, h:I→J が単射 ⇒ {f_h(i)|i∈I}
• Iは関連 :⇔ {f_j|j∈J}∈I, h:I→J が全射 ⇒ {f_h(i)|i∈I}

覚えにくいので、

• 安定＝ 双射安定
• アフィン＝ 単射安定
• 関連＝ 全射安定

でいいと思うのだが。

複圏または余複圏の定義は、マルチコスパンまたはマルチスパンの族Iが、双射安定で、

• 単元族 {id_X} はIに含まれる。
• Iは、マルチコスパンまたはマルチスパンの結合で閉じている。

グロタンディーク前位相の定義と比べる：

• 単元族{f}で、fが同型ならIに含まれる。
• {a_i:U_i→U | i∈I} がIのコスパンで、f:V→U が任意の射のとき、その引き戻し族 f^*{a_i:U_i→U | i∈I} はIのコスパンになる。
• Iは、マルチコスパンまたはマルチスパンの結合で閉じている。

恒等と同型の違いはどうでもいいので、「引き戻しで安定」だけが違う。一方で、引き戻しで安定だけを重視した定義がカバレッジの定義。

• https://ncatlab.org/nlab/show/coverage

シンプソンの独立構造は、

• 族Iは単射安定である。（双対的には全射安定。）
• すべての単元族はIに含まれる。

双対的に余独立構造を定義するなら、全射安定はほぼ被覆に対応する。が、すべての単元族を含むのはまったくダメだなー。

独立構造と被覆構造は別物なのかなー。