多様体が定義できる圏

• 参考：「包含付き圏：対象を集合っぽく扱うために」http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20101102/1288670139
• category with inclusionsにさらに条件を足す。
• そのinclusionをopen inclusionと呼ぶ。
• 他に、a family of models を指定する。
• category with open-inclusions with models = CwOIwM が多様体が定義できる圏。

位相構造と局所性

「局所ナントカ」「局所的にドウコウ」を有意化する。

開包含射の条件：

1. 開包含射の部分圏は包含射の部分圏の条件を満たす。
2. 任意の f:A→B と Bへの開包含射iに対して、iのfによる引き戻しが存在し、その引き戻しも開包含射である。
3. OInj/X がインデックス圏の構造を持ち。任意の離散図式に対して、極限を持つ。
4. 「三のニ」法則が成立する。

開包含族を使って、局所射と局所結合の概念を定義できる。Cの局所圏 LocalC を定義できる。

1. LocalCの対象はCの対象と同じ。
2. LocalCの射は、左足が包含であるようなスパン
3. 結合は、スパンの結合で定義する。

局所射のホムセットは順序構造を持つので、LocalCは順序豊饒圏となる。順序豊饒圏では、次の概念が定義できる。

1. PartId(A) 部分恒等射 partial identity
2. PartIso(A, B) 部分同型射 partial isomorphism
3. PartAut(A) 部分自己同型射（自己部分同型射） partial automorphism

これらをLocalCに適用すると：

1. LocalId(A) 局所恒等射 local identity
2. LocalIso(A, B) 局所同型射 local isomorphism
3. LocalAut(A) 局所自己同型射 local automorphism

記号を次のように定義：

• Local_C(A, B) := LocalC(A, B)
• LocalId_C(A) := PartId_LocalC(A)
• LocalIso_C(A, B) := PartIso_LocalC(A, B)
• LocalAut_C(A) := PartAut_LocalC(A)

局所射の順序構造や局所逆の概念は本質的に使っている。

モデルと座標系

Cが圏で、

• M⊆|C|

(C, M) をモデル族を持つ圏、モデル付き圏（category with models）と呼ぶ。

モデル族が飽和しているとは、

• A∈M, AB ならば、B∈M

Mを含む飽和モデル族は一意に決まるので、それを飽和閉包と呼ぶ。

F:(C, M)→(D, N) がモデル付き圏のあいだの関手だとは：

• Fは普通の関手。
• A∈M ならば、F(A)はNの飽和閉包に入る。

モデル付き圏の圏を作り、モデル付き圏としての圏同値が定義できる。モデル付き同値な2つのモデル付き圏は区別しない。

スパン (M←U→E) がMのチャートだとは、

1. 左足は開包含
2. 右足は局所同型
3. Eはモデル対象

Mを固定して、チャートの添字族 (M←U_i→E_i) がアトラスだとは：

• U_i がMを被覆する。

アトラスの余域がすべて同じとき均質アトラスと呼ぶ。均質アトラスを持つ対象Mを多様体対象と呼ぶ。添字集合の基数に制限をつけることもある。通常は可算集合。アトラス（に含まれるチャート）の余域は単一なので、それをMのモデル対象と呼ぶ。多様体対象のモデル対象は同型を除いて一意に決まる。

モデル族の選び方

モデル族は、飽和閉包が同じなら同値である。が、実用上はその選び方は重要である。

• 骨格的なモデル族は、多様体対象に対して厳密に一意のモデルが決まる。
• 小さなモデル族は、モデル達を集合として列挙できる。
• モデル族の基数が小さいほうが望ましい。

標準ユークリッド空間達をモデル族とすると、可算で骨格的なモデル族となる。

残り

• Cのアトラスの圏Atl(C)と多様体の圏Man(C)の関係を考える。
• Cの遷移ネット（transition net）を定義して、遷移ネットと多様体の関係を考える。
• 遷移ネットの圏TNet(C)も考えて、C, Man(C), Atl(C), TNet(C) の相互関係を考える。