次数（degree）と次元（dimension）

射、セル、ストラータムなどの次元を区別するために、

• "Surface diagrams for gray-categories" by Hummon, Benjamin Taylor（ http://escholarship.org/uc/item/5b24s9cc, http://www.chimaira.org/archive/SufraceDiagramsForGrayCategories_eScholarship-UC-item-5b24s9cc.pdf）

では、射の次数（degree）とダイアグラムの次元、ストラータムの次元を使っている。さらに余次数と余次元は次の公式（P.11）。

• codegree = category number − degree of morphism
• codimension = dimension of diagram − dimension of stratum

余次数は射に対して、余次元はストラータムに対して定義する。category numberは圏の次数と言ってもいいが、普通な圏の次元だな。

(n, r)-圏（https://ncatlab.org/nlab/show/%28n%2Cr%29-category）の観点から言うと、n-圏は(n, n)-圏。nが有限なら∞-圏ではない。n-圏＝(n, n)-圏では、j > n である次数ｊの射は恒等射＝等式に限る。例えば、2-圏では3射が等式になる。

ともかくも、ダイアグラムやセルの次元と、ダイアグラム内のストラータムの次元は区別しないとどうにもならない。