米田カン拡張とエルブランモデル族

Σを指標として、SをΣから生成された自由圏とする。SからSetへの関手をモデルと呼ぶ。モデルは前層だから、モデルの全体は前層圏PSh(S)と同じ： PSh(S) = Mod[Σ] 。米田埋め込み よ:S→PSh(S) が考えられる。この米田埋め込みは、Σのエルブランモデルの族と同じだろう。A∈|S| に対して よ(A)∈PSh(S) つまり よ(A):S→Set。{よ(A) | A∈|S|} はエルブランモデル族。

通常のエルブランモデルは、Σに特別な対象（終対象、またはモノイド圏としての単位対象）があるので、そこでだけ（一点だけ）でモデルを作っている。相対化すれば、任意の点（Σの対象）でのエルブランモデルが出来て、全体としてエルブランモデル族となる。

今、モデル E:S→Setを特定したとき、Eを PSh(S)→Set に“拡張”したい。カン拡張の枠組みを使って、米田埋め込み（＝エルブランモデル族）に沿ったEの左カン拡張 _よE を作る。これはEの米田カン拡張〈Yoneda Kan extension〉とも言う。

左カン拡張の変換部〈transformation part〉α::よ*(_よE)⇒E の意味論を作る必要がある。普遍性の意味を解釈する。