単純圏で次元はどう定義できるか？

• 対称モノイド圏が単純だとは、単純対象が同型を除いて1つしかなくて、すべての対象が単純対象の和（モノイド積）に同型。

と、定義した。特定された（distinguishedな）単純対象をUとして、モノイド積を+で書いて、U + U + ... + U = n・U と書くことにする。

どんな対象Xでも、適当なnに対して X=n・U （同型も=で書く）であることは定義から保証されるが、このnが一意的であることは全然保証されない。n・U = 0 とかも起こるかもしれない（起こらないことを示す必要がある）。

Dim(X) = {n∈N | X = n・U} とすると、Dim(X)が空でないことは定義から保証される。dim(X) = min(Dim(X)) とすれば、一応「対象Xの次元」は定義できるが、これでいいのか？ 考え方としては：

• このdimでやってみる。
• 集合Dimを詳しく調べる。
• Dimが{n}の形（単元集合）になる条件を調べる。

などがある。Cが双デカルトのとき、C(U, U)をK、C(U, X)を[X]と略記すると、Kは半環、[X]はK上の半加群となることはわかる。さらに、Cが単純だから[X]=Kⁿとも書ける。これで、（双デカルトのケースに限れば）問題は半環と半加群の代数的な問題になり、「Kⁿ = K^m なら n = m か？」という形になる。

半加群では、核Ker(f) = f^-1(0)は定義できるが、ろくな情報を持たない。準同型定理も成立しない。マイナス（符号反転）による対蹠がないので、対称性／一様性を持たず、半加群の構造定理が得られない。

ベキ等なら少しマシで、f:X→Yに対して、y∈Im(f)に対してf^-1({0, y})が部分半加群となり、XはX_y = f^-1({0, y})達の和で書ける。が、X_yはyごとにバラバラで一様ではない。

「X+A = X+B ⇒ A = B」が成立すれば、それはそれでありがたい。極限による直積／直和ならOKか？ いや、なんか変だな。

… ダメだぁー。

やっぱり、「等式的にデカルト⇒極限によりデカルト」を示す必要があるのかも -- それがどうした？という気もするが。それと、Xに[X]を対応させる具象表現も調べる必要があるような … ？