半環と単純双デカルト圏

単純圏における対象の次元の課題を少し別な見方で考える。

Kが半環のとき、行列圏Mat[K]を作れる。Mat[K]はNを対象類、1を単純対象とする単純双デカルト圏となる。“単純対象が特定された単純双デカルト圏の圏”をSBCCとすると、Matは、SR（SemiRings圏）→SBCCの関手となる。

SBCCに属する圏C = (C, U)（Uは特定された単純対象）に対して、K[C] = C(U, U)として半環を対応させれば、Kは SBCC→SRの関手となる。Mat;K = Idは自明に成立。問題はK;Matなのだ。M = (K;Mat)(C) = Mat[K[C][ とすると、圏Mは圏Cに包含されるが、この包含が圏同値だとすると、SBCCを圏同値で分類した商と圏SRを同一視していいことになる。

楽観的にムシのいい希望を述べれば：

• 単純双デカルト圏は半環係数の行列圏に圏同値であり、係数半環のみで構造が決定される。

これは作業仮説だが、いくらなんでも都合が良すぎるという感じもするな。