半環と半加群の次元など
Kが半環（可換とは限らない）として「Kn = Km ⇒ n = m」が、どんな条件でどの程度成立するか？が、シリアスな課題になっている。
半環Kと半加群Xに対して、Dim(X) = {k∈N | Kk = X}として、Dim(X)が空でないX（有限で自由な半加群）だけを相手にする。dim(X) = min(Dim(X))とすれば次元が定義できるような気がするが、これだとdim(X + Y) = dim(X) + dim(Y)が保証できない。
例えば、X = K （i.e dim(X) = 1）, dim(Y) = 2 とそれば、X + Y = K3（同型）となるが、もしK3 = K2だったりすると、dim(X + Y) = 2 ≠ dim(X) + dim(Y) となってしまう。dimの条件としては：
- dim(X) = n ⇔ X ≒ Kn
- dim(X + Y) = dim(X) + dim(Y)
が必要になる。
可換環でさえ次元論は難しいから、非可換半環では絶望的だろう。考えられる付加的条件は：
- 乗法が可換
- 加法が省約的
- 加法がベキ等
- 半体（乗法が群）
- ダガーを持つ
- 繰り返し（iteration）を持つ
など。
次元がdifinableであれば、ある条件Pを満たす半環の圏 (P)-SR と、End(U, U)が(P)-SRに入るような単純双デカルト圏の圏 (P)-SBCC の間を行列圏で繋ぐことができる。半環の条件Pを圏の条件P'で言い換えることができると、(P)-SRと(P')-SBCCの関係を記述できる。例えば、環がベキ等であることは、圏として「Δ∇ = 1」と記述できる。
- Wagneur, E. "Moduloids and Pseudomodules. I. Dimension theory." Discrete Mathematics, 98, 57-73, 1991
コレに、ベキ等半環の次元論があるらしい。
- M. Takahashi "On the bordism categories II -- Elementary properties of semimodules -- " Math. Sem. Notes, Kobe Univ., 9(1981), 495-530.
これは省約的半加群かもしれない。
もうひとつの見方は、マイヒル／ネロード型の理論が次元論を与える、と考えることだ。純代数的に考えるより、こっちのほうが有望かもしれない。とある代数のスペクトルが実はオートマトンの状態空間（状態点集合）として実現されて、その空間の大きさ（基数）が代数の次元を与えると考える。この点は別エントリーで書こう。
