閉（closure）構造

(C, (※), 1)がモノイド圏だとする。モノイド閉の定義として、指数演算を関手として表面に出すスタイルがある。

[-, -]:C^op×C→Cという2変項関手（指数関手）があって、自然な集合の同型Ψ_A,B,C:C(A(※)B, C) = C(A, [B, C])が与えられているとき、[-, -]とΨの組を、(C, (※), 1)の閉（閉包）構造と呼ぶ。（Ψは、C(-(※)-, -), C(-, [-, -])をC^op×C^op×C→Setの関手とみなしての自然変換である。）

閉構造を持つモノイド圏が閉圏である。モノイド積が対称でないと、指数が2つ必要になり面倒。とりあえずは対称のケースでいいだろう。コンパクト閉圏は、「[A, B] = B(※)A^*、ΨはKelly単位を使ったbending」で定義した閉構造を持つ。