f*の展開公式

※ここでは、f∨g = Δ;(f + g);∇ とする。

f^* = 1 ∨ f⁺ を絵算で示すときに、どうも次の公式が必須なようだ。

• ∇;Δ = (Δ+Δ);(1+σ+1);(∇+∇)

□≡(Δ+Δ);(1+σ+1);(∇+∇) と置けば、

• ∇;Δ = □

∇;Δ = □は、双代数（Δと∇を持つ代数）の公理だったりもする。η、εが単位、余単位だとして、η;Δ = Δ;(η + η), ∇;ε = (ε + ε);∇ も双代数の公理だが（→http://arxiv.org/abs/q-alg/9510013）、他から出そうだ。ちなみに、ベキ等性は Δ;∇ = 1、フロベニウス代数の基本公理は、∇;Δ = (Δ + 1);(1 + ∇)。

それで：

• f^* = Tr[(1+Δ);(σ + f);(1 + ∇)]
• f^* = Tr[(1+f);□] = Tr[□;(1+f)]
• f^* = 1 ∨ Tr(∇;f;Δ) = 1 ∨ f⁺

∇;Δ = □ を公理とすれば、これらはトレース付き双デカルト圏で示せるが、絵算は相当に面倒だ。意外！なんか勘違いしてるのか？

f^* = 1 ∨ f⁺ とか f^* = 1 ∨ f^*;f、f⁺ = (1 ∨ f⁺);f がけっこう難しいのは何故だろう？不思議だ。