モノイド半環の双代数構造

群環にならってモノイド半環を作ってみる。二値ブール代数Ωをベキ等半体だと思って、モノイドMからΩへの写像の全体をΩ(M)と書く。Ω(M)は半環になるが、和は合併、積は共通部分の集合代数とみなせる。

群環のホップ代数に倣って、単位1→Mから余単位ε:Ω(M)→Ω(1) = Ωを作る。これは部分集合がMの単位を含むかどうかを判定する写像になる。部分集合が非空であることを判定するι:Ω(M)→Ωは群環の積分に対応しそうだ。通常の言語の積は畳み込み積になる。

余積（余乗法）Δは、Ω(M)→Ω(M)(※)Ω(M) = Ω(M×M) （テンソル積(※)はうまく定義できるとして）だが、これは部分集合の乗法的分解になる。つまり、Δ(A)⊆M×M と考えて、(x, y)∈Δ(A)とは、x・ｙ∈A のこと。

余単位／余積に関してΩ(M)が代数的余代数（モノイド圏のコモノイド）になっていて、代数的代数構造と共に代数的双代数になっていれば面白い。余単位、余積によってオートマトンを記述できないか。代数的余代数と圏論的余代数の接点が見いだされるとうれしい。