等式的デカルト、余デカルト、双デカルトな圏

等式的デカルト圏＝デカルト圏であっても、等式的余デカルト、等式的双デカルトな圏を考えることに意味はある。

等式を使うと、極限のときとは双対性の使い勝手が違う。余デカルト性は即座に半線形性になる。双デカルトの定義には、∇;Δ = □ も入れた方がいいだろう。これにより、次の2つの定義が整合する。

• f⁺ := Tr(∇;f;Δ)
• f^* := Tr[(1+Δ);(σ+f);(1+∇)]

この定義のもとで、f⁺ = (∇;f)^† （右はコンウェイ（Conway）ダガー）は自明、f^* = Tr[□;(1 + f)] は割と簡単、f^* = 1 ∨ f⁺ は自明でない定理となる。