タプル、余タプル、マトリクス

f1:X→Y1, f2:X→Y2に対して、<f1, f2>:X→Y1×Y2を、射のタプルと呼ぶ。一方、f1:X1→Y, f2:X2→Yに対する[f1, f2]:X2+X2→Yを余タプルと呼ぶことにする（この記法は、ステファネスクとは逆）。タプルと余タプルを等式的に定義するには、等式的デカルト圏、等式的余デカルト圏ならいいだろう。(a, b; c, d) = <[a, b], [c ,d]> = [<a, c>, <b, d>]であるときはマトリクスを考えることができて、等式的双デカルト圏で意味を持つ。

そこで、等式的デカルト／等式的余デカルト／等式的双デカルト圏にモデルを持つような形式的理論を、タプル／余タプル／マトリクス・セオリーと呼ぶことにする。これらにトレースを入れれば、Conway／Elgot／Kozenセオリーと呼んでいいと思うが、これもステファネスクの用語とずれる気がする、調べてみよう。

僕としては、コンウェイ（Conway）不動点を持つデカルト圏、Elgotオートマトンの圏、コォゼン圏（Kozen圏）、クリーネ圏（Kleene圏）の関係をクリアにしたい。それが、ゴチャゴチャ考えてみる動機。

ついでに書いておくが；次の定義が公理的定義と実例を繋ぐ：

• 対称モノイド圏の対象Uが単純対象だとは、U≠0 で、U=U1+U2と分解できるなら、U1かU2のどちらかは0（に同型）。
• 対称モノイド圏が単純だとは、単純対象が同型を除いて1つしかなくて、すべての対象が単純対象の和（モノイド積）に同型。
• 対称モノイド圏が半単純だとは、単純対象が同型を除いて有限個しかなくて、すべての対象が単純対象の和（モノイド積）に同型。

特に興味深いのは、単純コォゼン（Kozen）圏と半単純コンウェイ（onway）圏だろう。半単純Conway圏の例は、ΩΟ圏として構成できて、これがXMLのモデルとなるはず。