圏係数の行列計算の実例

まず、弱半環として、集合と双射、直和と直積を考える。これをSB(Sets and Bijections)とする。詳しくは、(SB, +, 0, ×, 1, 法則ごとの同値性)。法則ごとの同値性とは、associator αとか、なんか色々。

I, J, Kなどは有限集合として、弱半環SB係数の行列を、I×J→|SB| という写像で定義する。Mat_SB(I, J)は、(I, J)をシェープとする行列の全体。A, B∈Mat_SB(I, J)に対して、α:I×J→Mor(SB) という写像（割り当て）で、α[i, j]:A[i, j]→B[i, j] in SBとなっているものを行列の同値変換と呼ぶ。α::A→B:I→J と書くと自然変換（自然同型）と同じ感じ。Aとαの“積”は行列のアダマール積と似ている。

A∈Mat_SB(I, J), B∈Mat_SB(J, K)に対して行列積（の反対）A;B∈Mat_SB(I, K)は、SBの弱半環構造を使って定義できる。が、結合律／単位律はon-the-noseには成立しない。up-to-同値変換では成立。すべての行列と同値変換の全体は亜群となる。dom, cod, idは厳密に定義できる。行列の積は、亜群に対して弱い圏構造を入れる。

2つの行列A, Bに対して、今度はRelを係数としてのハイパー行列Φ:A⇒Bを考えることができる。ハイパー行列は、AからBへのセルでI×J → K×Lのような二部グラフに対するRel値のカテグラフのこと。ハイパー行列Φ, Ψに対する横結合（スター積）Φ*Ψも定義できて、up-to-(同値変換の対)で結合律／単位律が成立する。次元は次のようになるだろう。

• I, J -- 0セル 添字集合
• A, B -- 1セル 行列
• Φ, Ψ -- 2セル ハイパー行列
• (α, α'), (β, β') -- 3セル 同値変換の対