オートマトンの森田の定理
いやー、むずかしい、難しい。
オートマトンを加群と考えるのは、ポリシー／指導原理としてはいいと思うが、具体的な定義では対応がつかない。双加群（両側加群）の (ax)b = a(xb) という結合律が、双オートマトン＝トランスデューサと考えるとまったく成立しない。この等式は結合律の形をしているが、実質は交替律だ。時間順序がある計算では成立しようがない。極めて空間的な対称性なのだ。
入出力ではなく、ペア（タプル）インストラクションが作用するオートマトンを考えれば作用の結合律を温存できる。しかし、直交して相互作用しない複数のインストラクションセットが働くオートマトンつうのはそれほど考えやすくない。入出力結合の二重圏モデルも捨てがたいものがある。
タプルインストラクションが働く状態空間と、入出力を持つオートマトンはまったくの別物として扱い、なんらかの条件を付けて同一視するのかもしれない。
ともかくも、枠組みとして使えるのは次のことだろう。
- 全体として双圏または二重圏がある。
- 構文的なモノイドまたは圏がインストラクションの代数としてあり、それは0セルとなる。
- インストラクションが作用する状態空間としてのオートマトンがある。
- オートマトンAは、双圏B内の自明な0セル1に対するホム圏 B(A, 1) の射である。自明な0セル（対象）の定義は自明じゃない。
- 一般的なホム圏 B(A, B) の射は、双オートマトンである。が、双オートマトンの定義が不明。
- 双加群のテンソル積に類似したスター積があり、これが双圏（または二重圏）の横結合を与える。双オートマトンはスター積で結合できる。
- 双オートマトン射が縦変換＝2セルを与える。これは模倣や双模倣だと思われる。
- オートマトン射は双オートマトン射の特殊なものである。
- B(A, A) にはスター積に関して単位となる IA という双オートマトンがある。
- 双オートマトンの縦同型＝2同値＝自然同値 が定義できる。
- 双オートマトンのスター結合とIAと自然同値を使って、0セル＝インストラクションセットのアイレンベルグ／ワッツ（Eileburg-Watts）同値を定義できる。これは、圏の圏同値と同じ概念。
- オートマトンの圏の圏同値を使って森田同値を定義できる。
森田理論は、森田コンテキストとHom, End関手を使いまくることにより、アイレンベルグ／ワッツ（Eilenberg-Watts）同値と森田同値の1:1対応を示す。また、アイレンベルグ／ワッツ同値を与える双オートマトンを具体的に構成する。関手からprogeneratorオートマトンを作る手順が必要。
Rがインストラクションモノイドとして、Pがprogeneratorオートマトンのとき、P*(×)RP = B(P, P) のような同型が成立するはずだが、、、？？
