ダイクストラはめ込みから離散物理とマンダラの圏へ
計算のマンダラ圏を昔から考えていた。いろいろな定式化があるが（そもそも、多数のマンダラがあるだろう）、それが二重圏や半環圏である可能性が高い。
最近、必要があって明瞭オートマトンを考えて、ホイヘンス原理に従いダイクストラ波動に沿ってはめ込みを構成した。はめ込みとは、局所的には単射だが、全域的には単射性を要求しない写像。ラベル付きグラフ（正確には、辺ラベル付き有向グラフ）とは、台であるグラフ（underlying graph）に、半環係数の1-形式（1-ラベリング）を与えたものだと思って良い。1-形式が力学系の生成元を与えるので、ラベル付きのグラフは、力学系が載っている離散空間だと思って良い。この力学系の長時間挙動は、生成行列の指数関数＝プロパゲータ＝クリーネスターで与えられる。
- PropA(n; j←i) = (1 + A)n[j, i] 時間的に効果が蓄積する場合の伝搬記述
ダイクストラ波動に沿ったはめ込みをダイクストラはめ込みと呼ぶとすると、ダイクストラはめ込みは明瞭オートマトン固有のものではなかった。どんな状況であっても、ダイクストラはめ込みは構成できる； 構成できる可能性があるならいずれは構成できるし、そうでないなら構成はどうやっても失敗する。そもそも、文字列（語）の認識問題が「ダイクストラはめ込みの構成問題」だったのだ。長さnの文字列は、長さnの有向竹グラフ上の素元係数の力学系になる（半環の素元は、掛け算でも足し算でも合成できない元； 超素元とでも呼ぶべきかも）。
さらに、適当な定義をしてオートマトン（グラフ上の境界つき力学系）の圏Automを作ると、Automの射（模倣写像）はダイクストラはめ込みで尽くされるようだ。つまり、境界を考慮してダイクストラはめ込みが作れないなら、そもそも圏Automでの射が存在しない。
あるいは：
- 圏Automのすべての射は、実はダイクストラはめ込みである。
明瞭オートマトンでは、ダイクストラはめ込みの構成が一意的で、異常に簡単だったという事情。一般的には、ダイクストラはめ込み（つまり射）はたくさんあるだろうし、決定性のアルゴリズムで構成できるわけでもない。しかし、構成の可能性は有限的に尽くされるので、トライアンドエラーでいつかは作れるか、完全に失敗するかのどちらか。
さらに、オートマトンと言語の半環から、いろいろと面白い現象を観察できる。まず、オートマトンを境界付きリグラフに一般化しておくと、リグラフの連接を結合、リグラフの直和を双積として、双デカルト圏になる。このとき、0対象が離散空間、1対象＝射がリグラフになる。りグラフのあいだの準同型（いろいろな定義ができる）が2対象＝2セルとなる。全体としては二重圏。
言語の半環は、1圏部分がトレース付き双デカルト圏である二重圏の雛形になっている。
二重圏の(1, 2)部分が再び圏となるが、直和＝双積は対称モノイド積に持ち上がる。1圏部分のEndo射だけを考えれば、結合は非対称なモノイド積を与える。このモノイド積を2セルに拡張して、非対称なモノイド圏を定義できる。0対象がなんであっても、End(S) から半環を作れる。
任意のリグラフにプロパゲーター行列を対応させる部分がベキ等モナドで、ビヘイビア関手と呼ばれているヤツじゃないのか。特に、1行1列の行列はスカラーだから、End(1, 1)上でビヘイビア関手を考えると、オートマトンの言語関手（正確には、言語線形変換を値とする関手）だろう。
