集合圏で森田の定理

なんか、集合圏ベースの森田の定理は出来そうな気がするな。勘違いでなければ。

集合圏が一番簡単なのではなかろうか、と思ったがそうでもない。

森田理論は、どうやら本質的に多元環と加群の理論らしい。「多元環（代数）と加群」という概念がないとうまく進まない。とはいえ、集合圏に近い圏でもなんとかなるようは気はしている。ようするに、「多元環（代数）と加群」をメイッパイ拡張するやり方。

いずれにしても、「集合圏なら簡単」とはならない。

森田定理が成り立つ条件というか状況としては、テンソル積の概念があって、テンソル積を横結合（水平結合）とする双圏が作れること。それと、非可換な乗法を持つ代数系としてのモノイド概念は必須のようだ。どんな圏であってもEnd(A)がモノイドになることを本質的に利用している。

ここでの（広義の）多元環とは、いろいろな圏におけるモノイド対象のこと。同じベース圏への多元環（代数、モノイド）の表現が加群。森田理論は抽象的モノイドとEnd(A)を比較するような理論じゃないかと思う。森田同値という同値関係のベースに森田順序とでも呼ぶべき順序関係があるような気がする。森田同値は圏同値に対応するが、森田順序はおそらく圏の埋込みに対応するのだろう。

[追記]森田同値ってすごく荒っぽい分類かと思っていたが、そうでもないような気がしてきた。森田コンテキストを作って、αペアリングとβペアリングを作って、isoになるか？ とか見ると、なかなかisoにならない感じがする。具体的に森田双加群＝森田水平射を作るのは難しそうだ。[/追記]

[追記] 集合Xに対する有限ベキ集合Powfin(X)をブール可換半環上のベクトル空間だと思って、この線形代数を基本とした多元環と加群を考えるのが楽のようだ。形式言語理論で言えば、正規表現以前で有限言語だけを考えるレベル。[/追記]