双圏で解釈する森田の定理

レイチェル・ブラウワー（Rachel Brouwer）の流儀（彼女がオリジナルとは違うかもしれないが）で森田の定理を解釈すると、一部（ごく一部だが）は定義からほぼ自明になる。一般化しても森田定理（Morita Theorem）のキモの部分は再現できないが、地勢を見るには一般化もある程度有効だろう。

Bが双圏だとして、Bの対象（0セル）をA, Bなど、Bの水平射（1セル）をf, gなど、Bの垂直変換（2セル）をα、βなどで表す。

双圏Bの対象A, Bが同値（同型ではなくて、2-同値）だとすると、f:A→B, g:B→A があって、互いにip-to-isoで逆となる。このとき、ホム圏 B(X, A) と B(X, B) が圏同値となる。もすこし一般的には、ホム圏 B(A, B) と、外から見た関手圏 Func(B(X, A), B(X, B)) に関手が定義できる。森田の定理では、B(A, B) → Func(B(X, A), B(X, B)) の（外から見ての）圏同値を構成することになる。

B(A, B) → Func(B(X, A), B(X, B)) の向きは簡単だが、Func(B(X, A), B(X, B)) → B(A, B) は難しい。単に一般的な議論をしてもうまくいかない。

森田定理はやはり、多元環と加群の文脈でないと構成できない。ただし、「多元環」と「加群」をめいっぱい一般化することはできそう。必要な概念は、Mが加群であるとき、End(M) が多元環とみなせること。つまり、End(-)が加群と同型の亜群から多元環の圏への関手として定義できるような状況があればいい。

係数多元環Rとプロジェネレータ（有限生成で射影的な分離的対象）Pに対して、RとEnd(P)の同型の存在を仮定するので、プロジェネレータとEnd多元環を共通に比較できる場所が必要。

これらのことを考えると、多元環を作るためのベースの圏と、同じベースによる豊饒圏の枠組みは必要だろう。また基礎環の取り換えのような操作も必要なので、インデックス付き圏（ファイバー圏）も必要だと思われる。

ベースの圏を、ベキ等可換モノイドにとれば、ISR上の加群の話になるだろう。そうすると、いちいち「半」とか付けるのをやめて、ベースを固定して、その上での「環」「多元環」「加群」という言葉を使える。それで、それぞれのベースの圏ごとに「森田定理」が示せる可能性がある。まっ、実際はそう話が簡単じゃないだろうが。

[追記]なんか、集合圏ベースの森田の定理は出来そうな気がするな。勘違いでなければ。[/追記]