森田同値

森田の定理（Morita theorem）がどんな主張かはじめて知った。

可換とは限らない環A、Bがあるとき、左加群の圏 A-Mod, B-Mod が圏同値であるとき、AとBは森田同値という（定義）。森田同値が、多元環の同型から導かれるとは限らない。森田同値の具体的な姿を明らかにしたのが森田の定理。

(B,A)-双加群（両側加群）Mで次の条件を満たすものを考える。

1. B左加群として有限生成
2. B左加群として射影的

このような双加群と森田同値の集合は1:1に対応する。ここで、森田同値は「加群圏の関手対と自然変換の組」と考える。加群の射影性は、完全列とかHomとか使わなくても「自由加群の直和成分」として定義できる。

B-Modのなかで、有限生成射影加群はけっこうあるだろう。問題は、それがAの左加群構造を許容するかどうか。A左加群になるなら、それが森田同値を与える。

具体的な、関手の形は、N |→ M(×)_AN というAテンソル積を使う。

これはプログラム意味論に使えそうだ。A-Modとは、CPUアーキテクチャ（インストラクションセット）がAであるコンピュータの全体と思ってよい。つまり、加群の圏は、コンピュータの圏／計算処理の圏となる。AとBが森田同値なら、2つのCPUアーキテクチャのよる計算には実質的な差がないことになる。森田同値でCPUを分類すれば、本質的な計算能力／計算の可能性による分類になるだろう。