森田同値：射影生成子

森田理論では、射影生成子（progenerator）という概念が極めて重要。CがV豊饒圏だとして、Cの対象Pが射影生成子とは、

1. PはCの生成子（generator）である。
2. PはCの射影的対象（projective object）である。
3. Pは有限生成である。

これらは圏論（豊饒圏論だけど）の概念で次のように定義できる。

1. generatorって用語がダメだって話が出る割には結局使われている。
   対象Xが生成子とは、f, g:A→B、f≠g ならば a:X→A、a;f ≠ a;g となるaがあること。Xからの射の全体 C(X, -) によって、射の等値性が判断可能であることを意味する。僕の感覚だと、Xは点の役割を演じる、あるいは部分的（partical）ではない対象。non-partical objectってのがピッタリかと。
2. Pが射影的とは、Pから決まる共変ホム関手 C(X, -) = Hom(X, -) : C→V がエピをエピに移すとき。エピ性を保つといってもいい。
3. Pが有限生成とは、コンパクトの定義と同じ。(f_i:X_i→P | i∈I) がモノ射（部分対象と思ってよい）の族で、jointly epic ならば、有限集合 J⊆I が取れて、やっぱり jointly epicにできる。圏に位相を入れてのコンパクトだと思えばいいだろう、たぶん。

生成子は分離子ということもある。射影生成子は、コンパクト分離的射影対象ということになる。特筆すべきは、アーベル圏でなくても定義できることだろう。任意の圏はSet豊饒圏だから、V豊饒の条件は一般性を損なわない。任意の圏において、射影生成子を考えることができる。

圏Cが半加法的であれば、Cは可換モノイドの圏AbMonで豊饒圏となる。射影生成子Pの自己ホムセットは、AbMon上でモノイドとなるから、半環となる。End(P) = C(P, P) も森田理論で使われる。

森田理論は強くアーベル圏に依存しているわけではなく、双圏の2-同値を使ったりするので、プログラム意味論に翻訳しやすいと思う。