2次元TQFTとFHK構成

• Title: 2-DIMENSIONAL LATTICE TOPOLOGICAL FIELD THEORIES (22 August 2011)
• Author: ELDEN ELMANTO
• Pages: 31p
• URL: http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Elmanto.pdf

これの内容だが、2d-TQFTに関する次の圏同値の説明

• SymMonCat^strong(2Cob, FdVect_C) FrobAlg_C in CAT

ここで、

• Cは複素数体（標数ゼロの代数的閉体ならいい）
• SymMonCatは対称モノイド圏の圏
• strongは強モノイド関手（タイトモノイド関手）を表す。
• 2Cobのモノイド構造は直和と空多様体で与えられる。
• FdVectのモノイド構造はテンソル積とスカラー体で与えられる。
• FrobAlgはフロベニウス多元環の圏
• CATは大きい圏も許す圏の圏

圏同値の構成に、次のような道具と手法を使う。

• コボルディズム（の大表元である）多様体を三角形分割する。
• 固定された三角形分割の双対図式（三価の開グラフ）を考える。
• 三価の開グラフに対して、半単純多元環を対応させる。
• 多元環の半単純性とトレース形式（標準的な内積）の対応をディクソンの定理で示す。
• 以上によって、三角形分割付きのコボルディズムの圏と半単純多元環の圏の同値性を示す。
• パヒナー（Pachner）移動に対する不変性としてフロベニウス多元環を導入する。
• 三角形分割に独立な関手が定義できる。

プロパーな線形代数からの非自明な結果としてディクソンの定理がある。曲面の理論からの非自明な結果として三角形分割の可能性とパヒナーの定理がある。これらの非自明な素材を準備すれば、後は圏論とストリング図だけで出来る、というストーリーだ。