色々な具体例 もっと
関手
- KA = λX.A
- I = λX.X
- (A×) = λX.A×X
- (+B) = λX.X + B
- λX.(X×X + 1)
代数あるいはマグマ
自己関手Fに対してF代数という言葉を使うが、あれはFマグマだろう。何の法則もないのだから。
K1 = λX.1 という定数関手に対して、K1代数＝K1マグマの圏は点付き集合の圏になる。直積スタンピング関手(A×)のマグマはオートマトンになる。特にRelで考えると非決定性のオートマトン。オートマトン射の定義が自動的に出てくるのがいい。
λX.(X×X + 1)のマグマは2項演算と特定元を持つマグマ。典型例はモノイド。
表現
- 右自明モノイド{a, b, e}（eは単位）を{a, b}の自己写像で表現する。
- 1の3乗根を{1, 2, 3}のサイクリック置換で表現する。
- 自然数の約数倍数関係を約数集合の包含、倍数集合の包含で表現する
もっと表現
Mをモノイドとして、X = (|X|, νX)がM-集合だとは
- νX:M×|X| → |X| が作用になっている。
XとYがM-集合のとき、|X|→|Y| で作用を保つものが射として圏をなす。この圏をSetM とする。記号 SetM は単なる上付き添字ではなくて、実は関手圏。
特別なM-集合Eを、|E| = |M|（Mの台集合）として、左からの作用（移動）として定義する。SetM(E, X) = |X| となる。これは米田の補題。|E| = |M|なので、|M|にはeがあるのがミソ。
集合的じゃない圏
ブレイドとタングルの圏、コンパクト曲面のコボルディズム圏もある。コンパクト曲面のコボルディズム圏の対象は自然数だと思ってよい。ブレイドもタングルも対象が自然数だけどね。
命題と証明の圏は集合的じゃない。が、カリー／ハワード対応でデカルト閉圏だ。
カウフマン流のI, A（対消滅）、C（対生成）から作られる圏もあるな。0→0の射は円の集合。時間方向に取り方によるが、下から上なら、C=∪、A=∩、I として、並置と「；」で表した文字列を射と考えればいい。
単体圏Δなのだが、Y、I、iの3文字で作った図形に結合律と単位律で同値関係を入れたもの。
