2-豊饒化（2-enrichments）とベッチ・オートマトン

Vが対称モノイド圏であるとき、V-豊饒圏が定義できる。モノイド圏は、2-圏の特別な場合で、単一対象を新たに加えて、対象→射、射→2-セルと次元を格上げするとモノイド圏→2-圏となる。これは、約懸垂構成といえる。

モノイド圏が2-圏であることに注目して、2-圏Vに対する豊饒化を定義できる。Xが対象(0-セル）の集合だとして、h0:X→Obj(V)、h1:X×X→Arr(V)を対応させる。h0(a)をa+、h1(a, b)をhom(a, b)と書く。* はVの1-水平結合だとする。

1. hom(a, b):a+ →b+ in V
2. hom(a, b)*hom(b, c):a+ → c+ とhom(a, c):a+ → c+ のあいだに、2- セルγ_{a, b, c}:: hom(a, b)*hom(b, c)⇒hom(a, c) がある。
3. id_a+:a+ →a+ とhom(a, a):a+ → a+ を結ぶ2-セルλ_a::id_a+⇒hom(a, a) がある。

これらがup-to-iso, up-to-equivで結合律と単位律を満たす。2-圏が局所順序（またはプレ順序）圏のときは定義がずっと簡単になる。

さて、Mを任意のモノイドだとして、C(M)を、Pow(M)に2-圏構造を与えたものとする。C(M)の0-セルは一点、1-セルはPow(M)の要素（Mの部分集合）、2セルはPow(M)の順序を使う。Xを任意の集合として、X上のC(M)-豊饒圏は、(-)+は決まってしまうので、hom(-, -)で決まる。

• hom(a, b)*hom(b, c)⊆hom(a, c)
• {1}⊆hom(a, a)

こうして決まる構造を、状態空間Xのベッチ（Betti）・オートマトンと呼ぶ。