ベッチ・オートマトン

2-豊饒化（2-enrichments）とベッチ・オートマトン - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編に2-豊穣化が出てる。http://arxiv.org/abs/cs/0602077 に基づく議論。だが、これは大げさ。次で十分だろう。

Mを順序モノイドとする。典型的には Lang(Σ) = Pow(Σ^*) に連接と包含順序を入れたもの。次のようにしてモノイド圏Cを作る。

• |C| = M
• C(a, b) は a≦b かどうかで決まる。順序に基づくやせた圏を作る。
• a, b∈|C| = M に対するモノイド積は、もとの積*を使って、a*b
• 厳密モノイダルなやせた圏Cが出来る。

Mの可換性は要求してないので、Mは非対称厳密モノイダルなやせた圏となる。さらにMは原子的とする。原子的とは、原子元で生成されること、デジタルなモノイド - 檜山正幸のキマイラ飼育記で言っているデジタルモノイドのこと。

Xが有向グラフとして、Xの次元をシフトさせる2グラフ写像 h0:|X|₀→|C|_-1, h1:|X|₁→|C|₀ で次の条件を満たすものを考える。

• C_-1は単元集合で、h0は自明な写像。
• h1は辺にMの原子元＝Cの原子射を対応させる。

Xが反射的推移的グラフ（幾何的圏、三角2セルの集合を持つ）のとき、推移＝結合を示す2セルにCの1セル＝Cの射＝順序 を対応させる写像を豊饒圏と呼ぶ。

すると、原子射への対応を生成系として最小の豊饒圏が決まる。これがベッチ（betti）オートマトン。次の構成とほぼ同じ。

• 形式言語理論のための代数 - 檜山正幸のキマイラ飼育記