弱い代数系、0.5次の構造
モノイド、群、半環のように、等式的に定義された代数系を考える。当然にこれらは、集合を台として定義される。圏を台にしたモノイドはモノイド圏、亜群を台とした群は圏群、圏を台とした半環は半環圏（まだ定義は曖昧）のようになるが、集合と圏の中間的な台を考えてみる。
モノイド圏の別な公理化では、対象類がモノイドになっていて、そのモノイドが射（ホムセット）に左右から作用しているような定式化で厳密モノイド圏を構成している。似たような発想で、まず対象類を代数系にして、それから圏全体に構造を入れることを考える。
対象類に代数構造を入れるにしても、厳密（強い）ケースだけだと応用上狭すぎるので、弱いケースも考える。弱いケースは等号の代わりに同型を使うので、同型概念は必要になる。そこで、ベースとして亜群を取る。例えば弱いモノイドは：
- 亜群Gがある。
- M = |G| 上に演算×と特定の元Iがある。
- ×とIに関する法則を亜群の射（常に同型）で記述する。
- 一貫性条件を付ける。
となる。僕は一貫性条件を理解してないのだが、まー、必要に違いあるまい。
特に面白いのは弱い半環で、対象類の上に×、+の２つのモノイド演算があり、これらが弱いモノイドになっている。さらに弱い分配律も成立している。圏Cから作られた亜群Iso(C)上に弱い半環構造があり、対象が射に作用している状況をうまく公理化できると面白い（かもしれない）。ただし、厳密ケースじゃないから難しそう。
集合上の構造は台が0次、圏上の構造は台が1次、となると亜群上の構造は台が0.5次といってもいいだろう。（単なる気分だが。）
