余りのある割り算になると分からなくなる“件”、というか“圏”

とととと、で、どんな計算をしていたか。

I, J, K, Lとかは非負整数、[I]= {0, 1, ..., I-1}、#([I]) = I とする。対応する小文字i, jなどはI, J上を走る変数。+, * は普通の足し算と掛け算。/, % は余りのある割り算（整除）と余り。

I(*)J = [I*J] として、f:[I]→[K], g:[J]→[L]に対して、

• (f(*)g)(x) = f(x/J)*L + g(x%L)

とする。それと、

• x' = τ_I,J(x) = (x%J)*I + x/J

としたとき、τを対称として(N, *, 1)を対象類とする対称モノイド圏となることを示す。特にヤン／バクスター型の方程式を示す。

有限集合の圏に対して、ある種のゲーデル符号化している。もとの有限集合の圏では自明なことなんだが、計算だけで示すのは割り算が不自由な僕には大変。人為的な符号化をするのがマズイのかもしれないが、算術計算の練習だね。