圏群と交差モジュール

昨日言及したバレット＆マッカイ（Barrett and Mackaay）論文に、圏群（categoracal group）ってのが出てくる（つうか、それが主題だ）。群の交差モジュール（crossed module）と同じ概念なんだそうだ。

交差モジュールは、群E, G、群準同型δ:E→G、左作用-*-:G×E→E の組。GはEに作用している。つまり、EはG集合になっている。が、この作用がE上の群自己準同型になっているかどうかよくわからん。群演算は単なる並置で表すとして：

1. δ(x*a) = x(δa)x^-1
2. (δa)*b = aba^-1

xyx^-1のような自己作用をy^xで表すと。

1. δ(x*a) = (δa)^x
2. (δa)*b = b^a

つまり、δと*を経由して回り道な自己作用を作ると、それが xyx^-1、aba^-1のような形をしている。