小ネタ：順序構造の含意

アブラムスキー（http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/samson.abramsky/tambook.pdf）で、面白い小ネタ。AとBを順序集合として、直和A+Bに普通に順序構造が入る。A+Bと同じ台集合に、a∈A、b∈Bならば a < b として構造を入れてこれを A＜|Bとする（＜| は横向き△のつもり）。

A, Bが全順序のとき、A＜|B も全順序。A→B := A^op＜|B と定義すると、含意に似た性質を持つ。また、テンパリー／リーブ圏のぶら下がり∪の構成にも使える。つまり、(↑)→(↑) = (↑)^op＜|(↑) = (↓)＜|(↑) = ∪ なのだ。