軸的圏（pivotal categories）

定義を述べておく。

(C, ×, I)がモノイド圏（対称性は仮定しない！）。(-)^*:|C|→|C|、η、ε:|C|→Cが次の条件を満たすとき(C, ×, I, (-)^*, η, ε)を軸的圏と呼ぶ。

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(-)^* はモノイド圏上の対象上双対作用（dualizer on objects）だとする。つまり、

1. A^** = A （対合性）
2. (A×B)^* = B^*×A^*
3. I^* = I

射の族η、εは、対象Aごとに(A, η_A, ε_A)が（左）双対系を定める。つまり、S字とZ字のジグザグ等式を満たす。さらに：

1. η_I = I
2. η_A×B = η_B;(B^*×η_A×B)

射fに対してその双対の定義が二種類生じるが、それらが等しい。コンパクト閉圏では、二種類の双対が等しいことを示せるが、軸的圏では公理として仮定する。