右ケリー双対と左ケリー双対が一致する圏：等方的剛性

任意のAに対してケリー双対系(A, R, η, ε)、(L, A, δ, γ)が存在するような圏は堅い圏と呼ぶ。A|→R、A|→L が写像として与えられているとして、R=A^#、L=A^*とする。η, ε（右双対）、δ, γ（左双対）もAをパラメータとして与えられる。

以下、イコールは同型を意味する、とする。

まず、一般的に、

• (A^#)^* = A
• (A^*)^# = A

定義から自明にちかいが、あからさまな同型の表示は次のようにして得られる。

• η:O→A^#+A
• ε:A+A^#→O
• δ:O→A^#+(A^#)^*
• γ:(A^#)^*+A^#→O

具体的な同型φ、ψは：

• φ:= [(A^#)^*+η];(γ+A)
• ψ:= (A+δ);[ε+(A^#)^*]

「右（左）ケリー双対の一意性」とまったく同様にして、これが同型であることを示せる。

さて、いまの状況で以下の命題は同値。

1. A^# = A^*
2. A^## = A
3. A^** = A

これらを言い換えると、

1. 右双対と左双対が定義されていて、その対象が一致する。（同一、または同型対象で右双対と左双対を実現できる。）
2. 右双対が定義されていて、その写像が包合的。
3. 左双対が定義されていて、その写像が包合的。

まず、(1)⇒(2)；A^# = A^* の両辺に#を作用させると、
A^## = (A^*)^#、ところが右辺はAだから、A^## = A。

(2)⇒(1)；A^## = A の両辺に*を作用させると、(A^##)^* = A^*、ところが左辺は(A^#)^#*なのでA^#。したがって、A^# = A^*。

(1)⇔(3)も同様。

η,εとδ,γに関しても議論の必要があるが、右と左が一致するような圏では、(-)^#,η,ε、または (-)^*,δ,γだけで議論を進めることができる。

右と左の区別が不要な堅い圏は、等方的に堅い圏（isotropically rigid category）と呼ぶことにする。