線形計算のメモ

ホワイトボードに書いたヤツ。早くテキスト化しないと忘れる。なるべく早くにテキスト付ける。

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上段

左の上の縦列

下から上に

• Lin(Rⁿ, X)→Xⁿ→Pow(X)

Lin(Rⁿ, X)→Xⁿ の横に書いてあるのは読めないが、標準的な同型。Xⁿ = Map([n], R) とすれば、Xⁿ→Lin(Rⁿ, X) の方向は標準の線形拡張。

set:Xⁿ→Pow(X) は、リスト〈タプル〉の成分の集合を作る写像。リストモナドからサブセットモナドへのモナド変換になっている。

まんなかの上の縦列

下から上に

• Iso(Rⁿ, X)←Frame(X)→Base(X)

Base(X)はBasis(X)のほうがいいだろう。

Frame(X)は、順序付き基底〈ordered basis〉の意味で、[n]→X で線形拡張が全単射になるものだと思っていい。in:Frame(X)→Base(X) は、フレームから（集合としての）基底を対応させる写像。

右の上の縦列

• Iso(Rⁿ, X^*)←Frame(X^*)→Base(X^*)

まんなかの縦列と同じ。標準双対空間X^*に変わっているだけ。まんなかの列との対応はすべて'#'でオーバーロードしてるが、このオーバーロードは良くないかも。

下のほう

下の左側ひし形

• Iso(Rⁿ, X)→Iso(X^*, R^n*)→Iso(R^n*, X^*)
• Iso(Rⁿ, X)→Iso(X, Rⁿ)→Iso(R^n*, X^*)

ひし形は可換。双対写像と逆写像をとる操作が可換。

最下段から上に伸びる矢印は、

• Iso(R^n*, X^*)→Iso(Rⁿ, X^*)

Ш_n:Rⁿ→R^n* をプレ結合することにより、この写像を作る。(Ш_n) = λf.(fШ_n) となる。

中段

• Lin(Rⁿ, X)→Lin(Rⁿ, Rⁿ)

これは書いてないけど、Xに順序付き基底があれば、この同型はある。

• lin:Mat(n, n)→Lin(Rⁿ, Rⁿ)
• mat:Lin(Rⁿ, Rⁿ)→Mat(n, n)

linは行列に線形写像を対応させる写像、matはその逆。lin = mat^-1, mat = lin^-1。

• dlin:Mat(n, n)→Lin((Rⁿ)^*, (Rⁿ)^*)
• dmat:Lin((Rⁿ)^*, (Rⁿ)^*)→Mat(n, n)

dlinは、dlin(a) = lin(a)^* と定義された写像。

下段

• col:Rⁿ→Mat(1, n)

タプルにカラム行列を対応させる。

• mat = row:(Rⁿ)^*→Mat(n, 1)

このmatはタプルの双対要素（双対空間の要素）にロー行列に対応させる。逆写像はlinになる。

下側の右にゴチャゴチャ書いてあるのは、mat, lin, dlin, row, col の関係だろう。

(Rⁿ)^* と R^n- の関係も必要、ここで n- は n と極性が反対であるインデックス集合。極性付きインデックス集合の概念が必要。

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