アフィン線形写像の圏とローヴェア／ユークリッド圏

n, m∈N に対して、

• AL(n, m) := Mat(n, m)×R^m

と定義する。ここで、

• Mat(n, m)は、m行n列の行列の全体 Mat(n, m) R^m×n

(a, b)∈AL(n, m), (a', b')∈AL(m, k) として、

• (a, b);(a', b') := (a'a, a'b + b')

と定義する。これは次の式の代入計算。

• y = ax + b
• z = a'y + b'

id_n := (e_n, 0) とすると、ALは圏になる。この圏は、次の特徴を持つ。

1. 対象類がN
2. 直積がNの足し算で与えられてデカルト圏になる。

つまり、ローヴェア・セオリーになっている。さらに、

1. AL(n, m)⊆Top(Rⁿ, R^m) とみなせる。

「みなせる」の意味は、n |→ Rⁿ を対象部分とする忠実関手 U:AL→Top が存在すること。

ローヴェア・セオリーであって、Topの標準ユークリッド対象の拡張となる忠実関手を持つ圏をローヴェア／ユークリッド圏と呼ぶ。

以下に関係する画像、って「どこが？」だろうが、いずれローヴェア／ユークリッド圏を使って、こんな図形の議論をするだろう。

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*1:https://jp.pinterest.com/pin/519743613222095825/

*2:https://www.creatis.insa-lyon.fr/site/en/acvd.html

*3:http://www.chimaira.org/archive/TQFT-Tangle_thesis_lauda.ps.pdf

*4:http://playtechs.blogspot.jp/2008/12/preparing-to-triangulate.html

*5:http://blog.ivank.net/fortunes-algorithm-and-implementation.html

*6:http://math.ucr.edu/home/baez/quantum_spacetime/qs.pdf

*7:http://waseda-ya.com/original129.html