離散外ベクトル解析

参考までに言葉：

• exterior derivative 外微分
• exterior differential calculus 外微分解析
• discrete exterior calculus 離散外解析
• vector calculus ベクトル解析

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各種の外微分作用素〈exterior derivative〉の名前は、gradient, curl, vortex, attraction, divergence とする。

• grad = D⁰ : Ω⁰(K)→Ω¹(K)
• curl = D¹ : Ω¹(K)→Ω²(K)
• vortex = A² : Ω²(K)→Ω¹(K)
• attrac = -div = A¹ : Ω¹(K)→Ω⁰(K)

これは、完全なミニ双複体を作る。よって、ド・ラーム・コホモロジーとホッジ分解のオモチャ (2/2) - 檜山正幸のキマイラ飼育記の議論はすべて適用できる。

• grad 勾配、傾き
• curl 回転、循環、渦巻き
• vortex 渦動、循環
• divergence 発散
• attraction 魅力、吸引力、吸収

これらの外微分作用素に関わる1-形式の呼び名と意味

条件	呼び名	流れでの意味
ω∈Im(grad)	コバウンダリ	勾配流
ω∈Ker(curl)	コサイクル	渦無し流, 無回転流, 非循環流
ω∈Im(vortex)	随伴コバウンダリ	渦動流、渦の循環量
ω∈Ker(attrac)	随伴コサイクル	入出無し流、保存流

※無回転流は本田圭佑のシュートかい？
随伴コバウンダリ＝バウンダリ、随伴コサイクル＝サイクルと思ってよい。

• 渦無し流： irrotational (curl-free) field/flow,
• 保存流： solenoidal (divergence-free) field/flow
• 調和流： Harmonic field/flow

コチェーン空間内にコサイクル空間とバウンダリ空間（ほんとは随伴コバウンダリ空間）があって、その交わり（ジョイン空間）が調和形式の空間。ミート空間はコチェーン全体。次のような包含関係と直交関係がある。

1. コバウンダリ空間 ⊆ コサイクル空間
2. バウンダリ空間 ⊆ サイクル空間
3. コバウンダリ空間 ⊥ サイクル空間
4. バウンダリ空間 ⊥ コサイクル空間
5. コバウンダリ空間 ⊥ バウンダリ空間 ⊥ 調和形式空間 （ホッジ分解）

流れの意味論では：

1. 渦無し流 ⊥ 渦動流
2. 勾配流 ⊥ 保存流
3. 渦無し保存流が調和流
4. 勾配流 ⊥ 渦動流 ⊥ 調和流 （ホッジ分解）

ランキング意味論では、

1. 無矛盾形式 ⊥ 矛盾形式
2. 勾配形式 ⊥ 一様平坦形式
3. 無矛盾一様平坦形式が調和形式
4. 勾配形式 ⊥ 矛盾形式 ⊥ 調和形式

勾配形式はスコア関数（ポテンシャル）が存在し、矛盾形式はミクロ有向面ごとの矛盾源からの循環流で、調和形式は下部構造の大域トポロジー（(コ)ホモロジカルな）情報を持っている。