微分計算 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

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なめらかな関数	SmthFun	C^∞, Ω¹
ベクトル場	VectFld	Ξ
微分作用素	DiffOpr	Ξ
微分形式	DiffFrm	Ω¹

外微分の基本公式

d(f $\circ$ x) = Σ(D_i[f]・dxⁱ) = Σ(f_;i・dxⁱ)

ここで、xは座標写像で、xⁱは座標成分関数。ナカグロは、微分形式と関数の掛け算。

外微分（あるいは全微分）の基本公式を満たすような d:C^∞_M(U)→A(U) を備えたC^∞加群層のなかで普遍的なもの（終・始対象）。マリオスの言葉を使えば、(C^∞_M(U), d, A(U) | U∈Open(M))は微分三つ組の層をなす。普遍的な微分三つ組により、余接ベクトル層＝余接加群層が定義される。

φ:M⊇U→Rⁿ がチャートのとき、φ^*:C^∞(A)→C^∞(U) を関数の引き戻しとする。φ^← はチャートの反転とすると、(φ^←)^*が定義できて、

(φ^←)^* = (φ^*)^-1

φ^←をφ^-1と書いてしまえば、

(φ^-1)^* = (φ^*)^-1

φ^-1* という書き方をする。この書き方で、X∈DiffOpr(A) のとき、X^φ∈DiffOpr_M(U) を次のように定義する。

X^φ := φ^* $\circ$ X $\circ$ φ^-1*

こう定義すると、次の変換公式が成立する。

X^φ[f] = φ^*(X[φ^-1*(f)])

これが、D_iと(D_i)^φ の同一視の原理になる。

外微分の基本公式の拡張として、

d(f $\circ$ x) = (J[f] $\circ$ x)・Δ_x

Δ_x は、dxⁱを縦に並べたタプルで、余接加群層＝余接ベクトル層のフレームになる。Δ_xの双対フレームを∇^xと書き、接加群層＝接ベクトル層のフレームとなる。定義から、チャートxに対して、Δ_xと∇^xは双対フレームになる。

∇^x・Δ_x = δ

任意のチャートxに対して、偏微分作用素D_i^x、ナブラ∇^x、余ナブラΔ_xが定義できて、しかるべき双対性公式を満たす。

用語：

ベクトル場←→コベクトル場（双対）
ベクトル場＝微分作用素
コベクトル場＝微分形式
ベクトル場←→微分形式
微分作用素←→微分形式

多様体上の微分作用素加群＝ベクトル場加群が局所的に有限生成自由加群で、そのフレームを座標（チャート）xのナブラが与える。ナブラは加群のフレーム。微分作用素加群の双対加群における、ナブラの双対フレームがコナブラ（余ナブラ）で、これは座標関数の微分の縦列で与えられる。

微分作用素加群の双対加群とは、1次の微分形式加群。コナブラは微分形式加群のフレーム。

座標変換写像〈transition map〉のヤコビ行列は次の目的で使われる。

xのナブラとyのナブラの相互変換
xのコナブラとyのコナブラの相互変換
xによる接ベクトル場の成分表示（縦）からyによる接ベクトル場の成分表示（縦）の相互変換
xによる微分形式の成分表示（横）からyによる微分形式の成分表示（横）の相互変換
ベクトルとコベクトルのあいだのペアリング2次形式（複線形関数）の成分表示

微分作用素の列＝フレーム (X_i)に対して、関数列fⁱが次を満たすとき、プレ双対関数列と呼ぶ。

X_i[f^j] = δ^j_i

三つ組ラベリング〈triad labeling〉は、同じラベル集合により、

微分作用素のフレーム
微分作用素のフレームにプレ双対な関数列
微分形式の双対フレーム

に対して名前付けすること。sが単純ラベルのとき

または、xが語幹、αがインデックスのとき、（x_α, x^αがラベル）

D^x_α
x^α
dx^α

これが標準ネーミングコンベンション。

上記の微分作用素／射影関数／微分形式の構文と解釈の可能性は：

＼	単純ラベル	上付き添字ラベル	下付き添字ラベル
変数解釈	1	2	3
関数解釈	4	5	6