ポーランド空間の意義

どうもポーランド空間すごい、感じがしてきた。

標準ボレル空間とは、可測空間のことで、ポーランド空間のボレル集合と可測空間として同型になるものをいう。おそらく、可測空間がボレル空間だとは、位相から作ったボレル族と可測空間として同型な可測空間のことだろう。別な言い方をすると、Borel:Top→Meas をボレル族を対応させる関手として、その像圏がボレル可測空間の圏。

Polish⊆Top だから、BorelをPolishに制限した像を取ると、それが標準ボレル{可測}?空間。ポーランド空間自体が、距離空間から位相空間への標準的関手の像圏として定義されている。

結局、標準ボレル可測空間とは、距離空間→位相空間→可測空間 の関手系列に対して、入り口に可分完備距離空間を入れた像になる。

違うポーランド空間が同じ（同等な）可測空間を定義することがある。だから、可測空間に対して適当な代表元として、都合が良いポーランド空間を選ぶことができる。で、驚くべき（驚いた）ことに、標準ボレル可測空間に対して、0次元＝全不連結空間を選べる。いや、これは驚く。位相構造と可測構造は、あまり密接に関連してないことを示す。同じ可測構造を定義するのに、非常に異なる位相空間を選ぶことが出来る。

さらに、全不連結空間というのは、ブール代数とものすごく強い関係がある。もう、ブール代数の議論＝全不連結空間の議論 と思っていいくらい。ストーン双対性があるからね。で、全不連結空間の閉開集合の族が、自然にブール代数となる。そのブール代数のスペクトルを取ると、再び全不連結空間を得るが、これがウォールマンコンパクト化になっている。全不連結空間の場合のウォールマンコンパクト化は、特にストーン／ウォールマン・コンパクト化と言っていいだろう。

• Giry and the Machine
• https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571066116300822

この論文に、以上の枠組みを使ってジリィ・スタイルの関手達を対象として、自然変換を射とする圏を解析している。ベースにポーランド空間があることが本質的。