離散分布 3

離散分布 2 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。

実は、形容詞「離散」に続くモノが2種類ある。

• 離散な確率空間
• 離散な確率分布（確率測度）

離散な確率空間とは、

1. 台集合（標本空間）の濃度が高々可算である。
2. σ代数がベキ集合の代数である。

これは可測空間に対する条件だ。しかし、可測空間に対する離散性では基数条件は要らないだろう。確率空間（測度空間）では、基数に対する条件が本質的だ。

次に確率測度が離散であること。標本空間が位相空間であるときは、測度の台を使って、次のように定義できる。

測度が離散だとは、

• 測度の台が位相的に離散集合
• 測度の台の濃度が高々可算

標本位相空間に条件を付ければ、位相的に離散（凝集してない）から高々可算は出てくるだろう。また、位相的に離散は不要なのかも知れない。

位相や台の定義を使わない離散な分布は、

• 離散な確率空間からの確率変数（可測写像）による前送り測度を離散分布と呼ぶ。