三項スカラー積と双対性

X, Yは位相可測空間で、φ:X→Y は連続写像、μがX上の測度、fはX上の関数、gはY上の関数とする。

• 二項スカラー積 <f|μ>_X は、測度μによる関数fのX上の積分
• 二項スカラー積 <A|f|μ>_X は、測度μによる関数fのA上の積分（A⊆X）

まず二項の場合の双対性は：

• <φ^*(g)|μ>_X = <g|φ_*(μ)>_Y

積分で書くと：

三項の場合の双対性は：

• <A|φ^*(g)|μ>_X = <φ_|-(A)|g|φ_*(μ)>_Y
• <φ^-|(B)|φ^*(g)|μ>_X = <B|g|φ_*(μ)>_Y

積分で書くと：

三項を二項に直したいときは、集合Aを、Aの特徴関数χ_Aにして掛け算すればよい。χは、ディラック確率関係Δと事実上同じで、

• χ_A(x) = Δ^A(x)

つまり、

• χ_A = Δ^A

あるいは、